Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

v
∂
2
v
∂t
2
= a
2
∂
2
v
∂x
2
+ f(x, t)
Q
T
,
v|
x=0
= 0, v|
x=l
= 0 (0, T ]
v|
t=0
= 0,
∂v
∂t
t=0
= 0
(0, l),
w
∂
2
w
∂t
2
= a
2
∂
2
w
∂x
2
Q
T
,
w|
x=0
= 0, w|
x=l
= 0 (0, T ]
w|
t=0
= ϕ
0
(x),
∂w
∂t
t=0
= ϕ
1
(x)
(0, l).
v
f
v
v
v(x, t) =
∞
X
k=1
T
k
(t)sin
kπx
l
.
Q
T
T
k
(t)
Çäåñü v  ðåøåíèå íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ

                   ∂ 2v      2
                           2∂ v
                        = a     + f (x, t) â QT ,                             (1.35)
                   ∂t2      ∂x2
óäîâëåòâîðÿþùåå îäíîðîäíûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì

                    v|x=0 = 0, v|x=l = 0          â       (0, T ]             (1.36)

è îäíîðîäíûì íà÷àëüíûì óñëîâèÿì
                                 ∂v
                    v|t=0 = 0,              =0        â    (0, l),            (1.37)
                                 ∂t   t=0
à w  ðåøåíèå îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ

                       ∂ 2w     2
                              2∂ w
                            =a      â QT ,                                    (1.38)
                       ∂t2     ∂x2
óäîâëåòâîðÿþùåå îäíîðîäíûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì

                    w|x=0 = 0, w|x=l = 0          â       (0, T ]             (1.39)

è íåîäíîðîäíûì íà÷àëüíûì óñëîâèÿì
                                 ∂w
               w|t=0 = ϕ0 (x),              = ϕ1(x)           â     (0, l).   (1.40)
                                 ∂t   t=0

   åøåíèå v çàäà÷è (1.35)(1.37) îïèñûâàåò âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ ñòðó-
íû, ò. å. òàêèå êîëåáàíèÿ, êîòîðûå ñîâåðøàþòñÿ ïîä äåéñòâèåì âíåøíåé
âîçìóùàþùåé ñèëû ñ ïëîòíîñòüþ f â (1.35), ïðè÷åì â îòñóòñòâèå íà÷àëü-
íûõ âîçìóùåíèé. åøåíèå çàäà÷è (1.38)(1.40) îïèñûâàåò ñâîáîäíûå êî-
ëåáàíèÿ ñòðóíû, ò. å. òàêèå êîëåáàíèÿ, êîòîðûå ïðîèñõîäÿò áåç äåéñòâèÿ
âíåøíåé ñèëû, à ëèøü ïîä äåéñòâèåì íà÷àëüíîãî âîçìóùåíèÿ ñòðóíû. Ïî-
ñêîëüêó çàäà÷à (1.38)(1.40) î ñâîáîäíûõ êîëåáàíèÿõ ñòðóíû óæå ðåøåíà
â ï.1.2, òî äëÿ ðåøåíèÿ èñõîäíîé çàäà÷è (1.31)(1.33) äîñòàòî÷íî íàéòè
ðåøåíèå v çàäà÷è (1.35)(1.37). Êàê è â ï.1.1, ïðèìåíèì äëÿ ýòîãî ìåòîä
Ôóðüå.
   Ñëåäóÿ ìåòîäó Ôóðüå, áóäåì èñêàòü ðåøåíèå v â âèäå ðÿäà
                                    ∞
                                    X                 kπx
                        v(x, t) =         Tk (t)sin       .                   (1.41)
                                                       l
                                    k=1

 òàêîì ñëó÷àå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (1.36) óäîâëåòâîðÿþòñÿ àâòîìàòè÷å-
ñêè, åñëè, êîíå÷íî, ðÿä (1.41) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî â QT . Îïðåäåëèì òå-
ïåðü óíêöèè Tk (t) â (1.41) òàê, ÷òîáû ðÿä (1.41) óäîâëåòâîðÿë óðàâíåíèþ

                                      14

Страницы