Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

u(x, t) =
∞
X
k=1
α
k
sin
kπx
l
sin
kπat
l
+ ϕ
k
.
α
k
sin
kπx
l
sin
kπat
l
+ ϕ
k
,
ϕ
k
ω
k
x A
k
(x)
ω
k
=
kπa
l
=
kπ
l
s
T
ρ
, A
k
(x) = α
k
sin
kπx
l
.
ρ T
x = 0,
l
k
,
2l
k
, ...,
(k −1)l
k
, l
A
k
(x)
l
2k
,
3l
2k
, ...,
(2k − 1)l
2k
A
k
(x)
sin(kπx/l)
k
ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ çàïèøåì (1.14) â âèäå
                         ∞                          
                         X        kπx       kπat
               u(x, t) =   αk sin     sin        + ϕk .             (1.25)
                                   l          l
                           k=1

k-ûé ÷ëåí ðÿäà (1.25)
                                                 
                               kπx       kπat
                        αk sin     sin        + ϕk ,                (1.26)
                                l          l
áóäó÷è ðåøåíèåì âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ (1.1), îïèñûâàåò âîëíó, êîòîðóþ íà-
çûâàþò k-îé ãàðìîíè÷åñêîé âîëíîé èëè k-îé ãàðìîíèêîé. Òàêîå íàçâàíèå
îáóñëîâëåíî òåì, ÷òî â îòâå÷àþùåì âîëíå (1.26) ïðîöåññå äâèæåíèÿ ñòðóíû
êàæäàÿ åå òî÷êà ñîâåðøàåò ãàðìîíè÷åñêîå êîëåáàòåëüíîå äâèæåíèå (ââåðõ
âíèç) ñ îäíîé è òîé æå íà÷àëüíîé àçîé ϕk , êðóãîâîé ÷àñòîòîé ωk è ïåðå-
ìåííîé (çàâèñÿùåé îò x) àìïëèòóäîé Ak (x), îïðåäåëÿåìûìè îðìóëàìè
                                s
                      kπa kπ T                        kπx
                 ωk =      =        , Ak (x) = αk sin     .        (1.27)
                        l     l   ρ                    l

Çäåñü ρ  ïëîòíîñòü ñòðóíû, T  íàòÿæåíèå ñòðóíû.
    òî÷êàõ
                               l 2l     (k − 1)l
                       x = 0, , , ...,           , l                (1.28)
                              k k           k
àìïëèòóäà Ak (x) îáðàùàåòñÿ â íóëü, òàê ÷òî â ýòèõ òî÷êàõ, íàçûâàåìûõ
óçëàìè k-îé ãàðìîíèêè, êîëåáàòåëüíîãî ïðîöåññà íå ïðîèñõîäèò, ò. å. âîëíà
(1.26) êàê áû ñòîèò â íèõ. Ñ ó÷åòîì ýòîãî ãàðìîíèêó (1.26) íàçûâàþò k-îé
ñòîÿ÷åé âîëíîé.  òî÷êàõ æå
                            l 3l        (2k − 1)l
                             ,   , ...,                             (1.29)
                           2k 2k           2k
àìïëèòóäà Ak (x) äîñòèãàåò íàèáîëüøåé ïî ìîäóëþ âåëè÷èíû, òàê êàê óíê-
öèÿ sin(kπx/l) â ýòèõ òî÷êàõ äîñòèãàåò ìàêñèìàëüíîãî àáñîëþòíîãî çíà÷å-
íèÿ, ðàâíîãî åäèíèöå. Óêàçàííûå òî÷êè íàçûâàþò ïó÷íîñòÿìè äëÿ k -îé
ãàðìîíèêè.
   Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ñàì ïî ñåáå ïðîöåññ êîëåáàíèÿ ñòðóíû íå ïðåä-
ñòàâëÿåò ñîáîé îñîáîãî èíòåðåñà äëÿ ÷åëîâå÷åñòâà. îðàçäî áîëüøóþ öåí-
íîñòü äëÿ ëþäåé ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñëåäñòâèå ýòîãî ïðîöåññà, à èìåííî
çâóê, êîòîðûé íåèçìåííî ñîïðîâîæäàåò ïðîöåññ êîëåáàíèÿ ñòðóíû (èëè,
êàê ãîâîðÿò èçèêè, èçëó÷àåòñÿ ïðè êîëåáàíèè ñòðóíû). Íå èìåÿ âîçìîæ-
íîñòè îñòàíàâëèâàòüñÿ çäåñü íà îáúÿñíåíèè èçè÷åñêîãî ïðîöåññà ðàñïðî-
ñòðàíåíèÿ çâóêîâûõ êîëåáàíèé â ñðåäå è èçèîëîãè÷åñêîì ïðîöåññå âîñ-

                                     12

Страницы