Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

|a
(2)
k
|
k
≤
1
2
1
k
2
+ |a
(2)
k
|
2
,
|b
(3)
k
|
k
≤
1
2
1
k
2
+ |b
(3)
k
|
2
.
P
∞
k=1
(1/k
2
)
P
∞
k=1
|a
(2)
k
|
2
P
∞
k=1
|b
(3)
k
|
2
u(x, t) = −
l
π
3
∞
X
k=1
1
k
3
b
(3)
k
cos
kπat
l
+
1
a
a
(2)
k
sin
kπat
l
sin
kπx
l
.
Q
T
= [0, l] × [0, T ]
l
π
3
∞
X
k=1
1
k
3
|b
(3)
k
| +
1
a
|a
(2)
k
|
,
Q
T
Q
T
Q
T
(x, t) ∈ Q
T
(x, t) ∈ Q
T
ϕ
0
ϕ
1
a
k
= α
k
sinϕ
k
, b
k
= α
k
cosϕ
k
,
α
k
=
q
a
2
k
+ b
2
k
,
ñõîäÿòñÿ. Äåéñòâèòåëüíî, ïðèìåíÿÿ íåðàâåíñòâî Êîøè, èìååì
              (2)                    (3)                 
            |ak | 1 1        (2) 2   |bk |   1 1      (3) 2
                  ≤      + |ak | ,         ≤      + |bk | .
              k     2 k2               k     2 k2
 òàêîì ñëó÷àå ñõîäèìîñòü ðÿäîâ (1.22) âûòåêàåò èç î÷åâèäíîé ñõîäèìî-
           P∞                                                     P∞       (2) 2
ñòè ðÿäà      k=1 (1/k ) (ñì., íàïðèìåð, [18, ñ. 425℄ ) è ðÿäîâ
                      2
                                                                     k=1 |ak | ,
P∞ (3) 2
  k=1 |bk | . Ïîñëåäíèå ñõîäÿòñÿ êàê ðÿäû, ñîñòàâëåííûå èç êâàäðàòîâ êî-
ýèöèåíòîâ ñõîäÿùåãîñÿ ðÿäà Ôóðüå [19, ñ. 311℄.
   Ïîäñòàâëÿÿ (1.20) â ðÿä (1.14), ïîëó÷èì
                 3 X  ∞                                
                    l       1     (3)   kπat 1 (2) kπat         kπx
   u(x, t) = −               3
                                 bk cos     + ak sin        sin     .     (1.23)
                   π       k              l  a         l         l
                      k=1

Ýòîò ðÿä ìàæîðèðóåòñÿ â çàìêíóòîé îáëàñòè QT = [0, l] × [0, T ] ÷èñëîâûì
ðÿäîì
                    3 X ∞                     
                     l       1       (3)  1  (2)
                               3
                                   |bk | + |ak | ,
                     π       k            a
                              k=1
êîòîðûé, î÷åâèäíî, ñõîäèòñÿ. (Ýòî äîêàçûâàåòñÿ òàê æå, êàê è ñõîäèìîñòü
ðÿäîâ (1.22)). Îòñþäà ñëåäóåò, ñîãëàñíî ïðèçíàêó ðàâíîìåðíîé ñõîäèìî-
ñòè óíêöèîíàëüíîãî ðÿäà [19℄, àáñîëþòíàÿ è ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü ðÿ-
äà (1.14) â çàìêíóòîé îáëàñòè QT , îòêóäà, â ñâîþ î÷åðåäü, âûòåêàåò, ÷òî
ðÿä (1.14) óäîâëåòâîðÿåò ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (1.2) è ïåðâîìó íà÷àëüíîìó
óñëîâèþ â (1.3).
   Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî ðÿäû, ïîëó÷åííûå (îðìàëü-
íî) îäíîêðàòíûì ëèáî äâóõêðàòíûì äèåðåíöèðîâàíèåì ðÿäà (1.14), ìà-
æîðèðóþòñÿ â QT ñõîäÿùèìèñÿ ÷èñëîâûìè ðÿäàìè, à ñëåäîâàòåëüíî, ðàâ-
íîìåðíî ñõîäÿòñÿ â QT . Ïîñêîëüêó êàæäûé ÷ëåí ðÿäà (1.14) óäîâëåòâî-
ðÿåò óðàâíåíèþ (1.1) â êàæäîé òî÷êå (x, t) ∈ QT , òî îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî
ðÿä (1.14) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (1.1) ïî êðàéíåé ìåðå â êàæäîé òî÷êå
(x, t) ∈ QT . Òåîðåìà äîêàçàíà.
   Çàìå÷àíèå 1.1. Èç òåîðåìû 1.1 âûòåêàåò, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè åå óñëî-
âèé íà íà÷àëüíûå óíêöèè ϕ0 è ϕ1 ñóùåñòâóåò ïî êðàéíåé ìåðå îäíî ðå-
øåíèå çàäà÷è (1.1)(1.3) è ýòî ðåøåíèå èìååò âèä ðÿäà (1.14), à èç òåîðåìû
åäèíñòâåííîñòè, êîòîðàÿ áóäåò äîêàçàíà â áîëåå îáùåì ñëó÷àå ⠟ 2 (ñì.
òåîðåìó 2.1), âûòåêàåò, ÷òî ðÿä (1.14) ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì ðåøåíèåì
çàäà÷è (1.1)(1.3).
   1.3. Ôèçè÷åñêèé àíàëèç ðåøåíèÿ. Âåðíåìñÿ ê ïîëó÷åííîìó ðåøå-
íèþ çàäà÷è (1.1)(1.3) â âèäå ðÿäà (1.14) è îáñóäèì åãî èçè÷åñêèé ñìûñë.
Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ
                                                 q         
              ak = αk sinϕk , bk = αk cosϕk , αk = a2k + b2k ,        (1.24)

                                      11

Страницы