Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

t
∂u
∂t
=
∞
X
k=1
kπa
l
−a
k
sin
kπat
l
+ b
k
cos
kπat
l
sin
kπx
l
.
ϕ
0
(x) =
∞
X
k=1
a
k
sin
kπx
l
, ϕ
1
(x) =
∞
X
k=1
kπa
l
b
k
sin
kπx
l
.
ϕ
0
ϕ
1
(0, l)
C[0, l]
a
k
b
k
ϕ
0
ϕ
1
a
k
=
2
l
l
Z
0
ϕ
0
(x)sin
kπx
l
dx, b
k
=
2
kπa
l
Z
0
ϕ
1
(x)sin
kπx
l
dx.
a
k
b
k
Q
T
∂u/∂t
x t Q
T
(x, t) ∈ Q
T
u
k
T
k
X
k
t x
a
k
b
k
  Ïðîäèåðåíöèðóåì ðÿä (1.14) ïî t. Ïîëó÷èì
               ∞                                  
         ∂u X kπa               kπat          kπat       kπx
            =           −ak sin      + bk cos        sin     .                 (1.15)
         ∂t        l              l             l         l
                       k=1

Ïîäñòàâëÿÿ (1.14) è (1.15) â íà÷àëüíûå óñëîâèÿ (1.3), ïðèõîäèì ê ñîîòíî-
øåíèÿì               ∞                       ∞
                    X          kπx           X kπa        kπx
           ϕ0(x) =      ak sin     , ϕ1(x) =       bk sin     .    (1.16)
                                l               l          l
                          k=1                           k=1
Ôîðìóëû (1.16) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ðàçëîæåíèÿ çàäàííûõ óíêöèé ϕ0 è
ϕ1 â ðÿä Ôóðüå ïî ñèíóñàì (1.11) â èíòåðâàëå (0, l). Èç òåîðèè ðÿäîâ Ôóðüå
(ñì., íàïðèìåð, [19, ñ.317℄) âûòåêàåò, ÷òî ñèñòåìà (1.11) ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé,
íàïðèìåð, â ïðîñòðàíñòâå íåïðåðûâíûõ óíêöèé C[0, l], ïðè÷åì êîýè-
öèåíòû ak è bk ðàçëîæåíèé (1.16) îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþòñÿ ïî (íåïðåðûâ-
íûì) óíêöèÿì ϕ0 è ϕ1 ñ ïîìîùüþ îðìóë
                 Zl                                 Zl
             2                   kπx           2                     kπx
      ak =            ϕ0(x)sin       dx, bk =            ϕ1 (x)sin       dx.   (1.17)
             l                    l           kπa                     l
                 0                                  0

Òåì ñàìûì ðåøåíèå èñõîäíîé çàäà÷è (1.1)(1.3) ïîñòðîåíî. Îíî èìååò âèä
ðÿäà (1.14), ãäå ak è bk îïðåäåëÿþòñÿ îðìóëàìè (1.17), ïðè óñëîâèè, êî-
íå÷íî, ÷òî ðÿä (1.14) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ â çàìêíóòîé îáëàñòè QT âìåñòå
ñ ïðîèçâîäíîé ∂u/∂t (ïðè âûïîëíåíèè ýòèõ óñëîâèé ðÿä (1.14) óäîâëåòâî-
ðÿåò ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (1.2) è íà÷àëüíûì óñëîâèÿì (1.3)), è åãî ìîæ-
íî äâàæäû ïî÷ëåííî äèåðåíöèðîâàòü ïî x è t â QT (ïðè âûïîëíåíèè
ýòèõ óñëîâèé ðÿä (1.14) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (1.1) â êàæäîé òî÷êå
(x, t) ∈ QT ).
   Èçëîæåííûé âûøå ìåòîä íàõîæäåíèÿ ðåøåíèÿ íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà-
÷è (1.1)(1.3) â âèäå óíêöèîíàëüíîãî ðÿäà (1.14) íîñèò íàçâàíèå ìåòîäà
ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ èëè ìåòîäà Ôóðüå ïî èìåíè ðàíöóçñêîãî ìàòå-
ìàòèêà Æ.Ôóðüå, êîòîðûé ñ äîñòàòî÷íîé ïîëíîòîé ðàçâèë ýòîò ìåòîä â
íà÷àëå 19-ãî âåêà. (Ñàìà æå èäåÿ ïðèìåíåíèÿ ìåòîäà ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåí-
íûõ äëÿ ðåøåíèÿ âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ áûëà ïðåäëîæåíà âïåðâûå äðóãèì
ðàíöóçñêèì ìàòåìàòèêîì Æ.Ä. Àëàìáåðîì â 1749 ã.). Êàê âûòåêàåò èç
ïðåäûäóùèõ ðàññóæäåíèé, ñóòü ýòîãî ìåòîäà â ïðèìåíåíèè ê çàäà÷å (1.1)
(1.3) çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òîáû: 1) ïîñòðîèòü äîñòàòî÷íî øèðîêèé íàáîð
÷àñòíûõ ðåøåíèé uk èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ (1.1), óäîâëåòâîðÿþùèõ îäíî-
ðîäíûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (1.2), â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ (1.13) äâóõ óíê-
öèé: Tk è Xk  çàâèñÿùèõ îò îäíîé ïåðåìåííîé, ñîîòâåòñòâåííî t èëè x
è 2) ñîñòàâèâ ðÿä (1.14) èç óêàçàííûõ ÷àñòíûõ ðåøåíèé, ïîäîáðàòü â íåì
êîýèöèåíòû ak è bk òàê, ÷òîáû, ñ îäíîé ñòîðîíû, ðÿä (1.14) ñõîäèëñÿ

                                           9

Страницы