Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

t x
x t
λ
T
′′
(t) + a
2
λT (t) = 0
T
X
′′
(x) + λX(x) = 0
X
X(0) = 0, X(l) = 0.
λ
λ
λ < 0, λ = 0 λ > 0
λ < 0
X(x) = C
1
e
√
−λx
+ C
2
e
−
√
−λx
,
C
1
C
2
C
1
+ C
2
= 0, C
1
e
√
−λl
+ C
2
e
−
√
−λl
= 0.
C
1
= 0, C
2
= 0 X(x) ≡ 0
λ = 0
X(x) = C
1
+ C
2
x.
C
1
+ C
2
· 0 = 0 C
1
+ C
2
l = 0
C
1
= 0, C
2
= 0 X(x) ≡ 0
λ > 0 X(x) = C
1
cos
√
λx+
+C
2
sin
√
λx C
1
·1 + C
2
·
Ëåâàÿ ÷àñòü ðàâåíñòâà (1.5) çàâèñèò òîëüêî îò t, à ïðàâàÿ  òîëüêî îò x.
Ïîýòîìó ýòî ðàâåíñòâî âîçìîæíî ëèøü â òîì ñëó÷àå, êîãäà è ëåâàÿ è ïðàâàÿ
÷àñòè íå çàâèñÿò íè îò x, íè îò t, ò.å. ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé îäíó è òó æå
ïîñòîÿííóþ. Îáîçíà÷èì ýòó ïîñòîÿííóþ ÷åðåç  λ. Òîãäà èç ðàâåíñòâà (1.5)
ïîëó÷èì äâà îáûêíîâåííûõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèÿ: óðàâíåíèå

                          T ′′ (t) + a2 λT (t) = 0                   (1.6)

äëÿ T è óðàâíåíèå
                           X ′′ (x) + λX(x) = 0                      (1.7)
äëÿ X . ×òîáû ïîëó÷èòü íåòðèâèàëüíûå, ò. å. íå ðàâíûå òîæäåñòâåííî íóëþ,
ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (1.1) âèäà (1.4), óäîâëåòâîðÿþùèå ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì
(1.2), íåîáõîäèìî íàéòè íåòðèâèàëüíûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (1.7), óäîâëå-
òâîðÿþùèå ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì

                          X(0) = 0, X(l) = 0.                        (1.8)

   Òàêèì îáðàçîì, ìû ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåé çàäà÷å: íàéòè òàêèå çíà-
÷åíèÿ ïàðàìåòðà λ, ïðè êîòîðûõ óðàâíåíèå (1.7) èìååò íåòðèâèàëüíûå
ðåøåíèÿ, óäîâëåòâîðÿþùèå ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (1.8). Ýòè çíà÷åíèÿ ïà-
ðàìåòðà λ íàçûâàþòñÿ ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè, à ñîîòâåòñòâóþùèå ðå-
øåíèÿ  ñîáñòâåííûìè óíêöèÿìè çàäà÷è (1.7), (1.8), à ñàìà çàäà÷à (1.7),
(1.8) íàçûâàåòñÿ ñïåêòðàëüíîé çàäà÷åé, èëè çàäà÷åé ØòóðìàËèóâèëëÿ.
   Íàéäåì ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå óíêöèè çàäà÷è (1.7), (1.8).
Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì îòäåëüíî òðè ñëó÷àÿ: λ < 0, λ = 0 è λ > 0.
   1) Ïðè λ < 0 îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1.7) èìååò âèä
                                  √                √
                                   −λx
                      X(x) = C1e         + C2 e−    −λx
                                                          ,
ãäå C1 è C2  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå. Óäîâëåòâîðÿÿ ãðàíè÷íûì óñëîâè-
ÿì (1.8), ïîëó÷èì
                                    √                √
                                     −λl
                 C1 + C2 = 0, C1 e         + C2e−     −λl
                                                              = 0.   (1.9)

Êàê ëåãêî çàìåòèòü, îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû (1.9) îòëè÷åí îò íóëÿ; ñëåäîâà-
òåëüíî, C1 = 0, C2 = 0 è ïîýòîìó X(x) ≡ 0.
   2) Ïðè λ = 0 îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1.7) èìååò âèä

                           X(x) = C1 + C2 x.
 ðàíè÷íûå óñëîâèÿ (1.8) äàþò C1 + C2 · 0 = 0, C1 + C2 l = 0. Îòñþäà
C1 = 0, C2 = 0 è, ñëåäîâàòåëüíî, X(x) ≡ 0.                            √
   3) Ïðè
       √  λ > 0 îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1.7) èìååò âèä X(x) = C 1 cos λx+
+C2sin λx. Óäîâëåòâîðÿÿ ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (1.8), ïîëó÷èì C1 · 1 + C2 ·

                                     7

Страницы