Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

l
∂
2
u
∂t
2
= a
2
∂
2
u
∂x
2
Q
T
= (0, l) × (0, T ] 0 < T < ∞
u|
x=0
= 0, u|
x=l
= 0 (0, T ]
u|
t=0
= ϕ
0
(x),
∂u
∂t
t=o
= ϕ
1
(x)
(0, l).
a > 0
ϕ
0
ϕ
1
u
u(x, t) = T (t)X(x).
T (t) X(x)
T
′′
(t)X(x) = a
2
T (t)X
′′
(x).
a
2
XT
T
′′
(t)
a
2
T (t)
=
X
′′
(x)
X(x)
.
     ËÀÂÀ 4. Ìåòîä ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ
     (ìåòîä Ôóðüå) è âîëíîâûå ïðîöåññû â
            îãðàíè÷åííûõ îáëàñòÿõ

            Ÿ1. Îäíîìåðíîå âîëíîâîå óðàâíåíèå

  1.1. Ïðèìåíåíèå ìåòîäà Ôóðüå äëÿ óðàâíåíèÿ ñâîáîäíûõ êî-
ëåáàíèé ñòðóíû.   Ìåòîä Ôóðüå, èëè ìåòîä ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ, ÿâ-
ëÿåòñÿ îäíèì èç íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ óðàâíåíèé
ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè. Ìû èçëîæèì ýòîò ìåòîä íà ðÿäå ïðèìåðîâ,
íà÷àâ ñ ïðîñòåéøåé çàäà÷è î ñâîáîäíûõ êîëåáàíèÿõ îäíîðîäíîé ñòðóíû
äëèíû l, çàêðåïëåííîé íà êîíöàõ. Óêàçàííàÿ çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ
îäíîìåðíîãî âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ
                                  ∂ 2u      2
                                          2∂ u
                                       = a                           (1.1)
                                  ∂t2      ∂x2
â îáëàñòè QT = (0, l) × (0, T ], ãäå 0 < T < ∞, ïðè ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ
                    u|x=0 = 0, u|x=l = 0        â     (0, T ]         (1.2)
è íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ
                                 ∂u
               u|t=0 = ϕ0(x),               = ϕ1(x)    â    (0, l).   (1.3)
                                 ∂t   t=o

Çäåñü êîíñòàíòà a > 0 èìååò ñìûñë ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëí ïî
ñòðóíå, à ϕ0 è ϕ1  çàäàííûå óíêöèè, èìåþùèå ñîîòâåòñòâåííî ñìûñë íà-
÷àëüíîãî îòêëîíåíèÿ è íà÷àëüíîé ñêîðîñòè êîëåáàíèÿ òî÷åê ñòðóíû. Ïðåä-
ïîëàãàÿ, ÷òî ðåøåíèå u çàäà÷è (1.1)(1.3) ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî, ïîñòà-
âèì ñâîåé áëèæàéøåé öåëüþ íàéòè åãî â ÿâíîì (àíàëèòè÷åñêîì) âèäå, áîëåå
êîíêðåòíî  â âèäå óíêöèîíàëüíîãî ðÿäà.
   Áóäåì ñíà÷àëà èñêàòü ÷àñòíûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (1.1), óäîâëåòâîðÿ-
þùèå ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (1.2), íå ðàâíûå òîæäåñòâåííî íóëþ, â âèäå
ïðîèçâåäåíèÿ
                           u(x, t) = T (t)X(x).                      (1.4)
Çäåñü T (t) è X(x)  íåèçâåñòíûå ïîêà óíêöèè, êàæäàÿ èç êîòîðûõ çàâèñèò
òîëüêî îò îäíîé ïåðåìåííîé. Ïîäñòàâëÿÿ (1.4) â óðàâíåíèå (1.1), ïîëó÷èì
                        T ′′ (t)X(x) = a2 T (t)X ′′(x).
Ïîñëå äåëåíèÿ íà a2 XT (èëè, êàê ãîâîðÿò, ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ), ïðè-
õîäèì ê ðàâåíñòâó
                           T ′′ (t)   X ′′ (x)
                                    =          .                  (1.5)
                           a2 T (t)   X(x)
                                       6

Страницы