Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

0 = 0 C
1
cos
√
λl + C
2
sin
√
λl = 0 C
1
= 0
C
2
sin
√
λl = 0 C
2
6= 0
X(x) ≡ 0 sin
√
λl = 0
√
λ = (kπ/l) k
λ = λ
k
λ
k
=
kπ
l
2
, k = 1, 2, 3, ... .
X
k
(x) = sin
kπx
l
,
k
λ
−k
= λ
k
k
λ
k
X
k
λ λ
k
T
k
(t) = a
k
cos
kπat
l
+ b
k
sin
kπat
l
,
a
k
b
k
u
k
(x, t) = T
k
(t)X
k
(x) =
a
k
cos
kπat
l
+ b
k
sin
kπat
l
sin
kπx
l
, k = 1 , 2, ... .
u
k
k a
k
b
k
u(x, t) =
∞
X
k=1
a
k
cos
kπat
l
+ b
k
sin
kπat
l
sin
kπx
l
t
Q
T
= [0, l] × [0, T ]
x t Q
T
a
k
b
k
               √            √
0 = 0, C1cos λl + C2 sin λl    √ = 0. Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ñëåäóåò C1 = 0, à
èç âòîðîãî ïîëó÷àåì C2 sin λl = 0. Ìû äîëæíû ñ÷èòàòü C2 6= 0,√òàê êàê
â ïðîòèâíîì
      √        ñëó÷àå X(x) ≡ 0. Ïîýòîìó ïðèõîäèì ê ðàâåíñòâó sin λl = 0,
ò. å. λ = (kπ/l), ãäå k  ëþáîå öåëîå ÷èñëî. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî íåòðèâè-
àëüíûå ðåøåíèÿ çàäà÷è (1.7), (1.8) âîçìîæíû ëèøü ïðè çíà÷åíèÿõ λ = λk ,
ãäå                              2
                                  kπ
                          λk =            , k = 1, 2, 3, ... .                      (1.10)
                                   l
Ýòèì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì îòâå÷àþò ñîáñòâåííûå óíêöèè  íåòðèâè-
àëüíûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (1.7)
                                                 kπx
                                 Xk (x) = sin          ,                            (1.11)
                                                    l
îïðåäåëÿåìûå ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîãî ìíîæèòåëÿ.
    Çàìåòèì, ÷òî ïîëîæèòåëüíûå è îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ k , ðàâíûå ïî
àáñîëþòíîé âåëè÷èíå, äàþò ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ λ−k = λk , à ñîîòâåò-
ñòâóþùèå ñîáñòâåííûå óíêöèè ìîãóò îòëè÷àòüñÿ ëèøü ïîñòîÿííûì ìíî-
æèòåëåì. Ïîýòîìó äîñòàòî÷íî äëÿ k áðàòü òîëüêî öåëûå ïîëîæèòåëüíûå
çíà÷åíèÿ. Ñ ó÷åòîì ýòîãî ìîæíî ñäåëàòü âûâîä î òîì, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ
÷èñåë λk â (1.10) è óíêöèé Xk â (1.11) îáðàçóåò ñîâîêóïíîñòü âñåõ ñîá-
ñòâåííûõ çíà÷åíèé è ñîáñòâåííûõ óíêöèé ñïåêòðàëüíîé çàäà÷è (1.7),
(1.8).
    Ïîäñòàâèì äàëåå â (1.6) âìåñòî λ çíà÷åíèÿ λk è çàïèøåì îáùåå ðåøåíèå
ïîëó÷åííîãî óðàâíåíèÿ â âèäå
                                          kπat             kπat
                         Tk (t) = ak cos        + bk sin         ,                  (1.12)
                                             l                l
ãäå ak è bk  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå. Â ñîîòâåòñòâèè ñ (1.4) ââåäåì óíê-
öèè
                                                             
                                     kπat              kπat         kπx
  uk (x, t) = Tk (t)Xk (x) = ak cos           + bk sin          sin       , k = 1, 2, ... .
                                        l                l            l
                                                                                    (1.13)
Èç ïîñòðîåíèÿ âûòåêàåò, ÷òî óíêöèè uk ïðè ëþáîì k è ëþáûõ ak è bk
óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ (1.1) è ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (1.2). Òî æå ñàìîå
ñïðàâåäëèâî è äëÿ ëþáîé ëèíåéíîé êîìáèíàöèè óíêöèé (1.13), à òàêæå
ðÿäà
                            ∞                                  
                           X            kπat             kπat          kπx
                 u(x, t) =       ak cos        + bk sin            sin              (1.14)
                                           l                l           l
                            k=1
ïðè óñëîâèè, ÷òî îí ðàâíîìåðíî âìåñòå ñ ïðîèçâîäíîé ïî t ñõîäèòñÿ â çà-
ìêíóòîé îáëàñòè QT = [0, l] × [0, T ], è åãî ìîæíî äâàæäû ïî÷ëåííî äè-
åðåíöèðîâàòü ïî x è t âíóòðè QT . Îñòàåòñÿ îïðåäåëèòü ïîñòîÿííûå ak è
bk â (1.14) òàê, ÷òîáû ðÿä (1.14) óäîâëåòâîðÿë è íà÷àëüíûì óñëîâèÿì (1.3).

                                            8

Страницы