Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

Q
T
∂u/∂t
x t Q
T
ϕ
0
[0, l]
ϕ
0
(0) = ϕ
0
(l) = 0, ϕ
′′
0
(0) = ϕ
′′
0
(l) = 0,
ϕ
1
[0, l]
u
ϕ
1
(0) = ϕ
1
(l) = 0,
u
Q
T
(x, t) ∈ Q
T
t ∈ [0, T ] x ∈ [ 0, l]
x t
Q
T
a
k
= −
l
π
3
b
(3)
k
k
3
, b
k
= −
l
π
3
a
(2)
k
ak
3
,
b
(3)
k
=
2
l
l
Z
0
ϕ
′′′
0
(x)cos
kπx
l
dx, a
(2)
k
=
2
al
l
Z
0
ϕ
′′
1
(x)sin
kπx
l
dx.
∞
X
k=1
|a
(2)
k
|
k
,
∞
X
k=1
|b
(3)
k
|
k
ðàâíîìåðíî â çàìêíóòîé îáëàñòè QT (âìåñòå ñ ïðîèçâîäíîé ∂u/∂t), è åãî
ìîæíî áûëî äâàæäû ïî÷ëåííî äèåðåíöèðîâàòü ïî x è t âíóòðè QT , à ñ
äðóãîé ñòîðîíû, ÷òîáû ðÿä (1.14) óäîâëåòâîðÿë íà÷àëüíûì óñëîâèÿì (1.3).
Èññëåäîâàíèþ ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ðÿäà (1.14), ò. å. îáîñíîâàíèþ ïðè-
ìåíåíèÿ ìåòîäà Ôóðüå äëÿ ðåøåíèÿ íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (1.1)(1.3),
ïîñâÿùåí ñëåäóþùèé ïóíêò.
   1.2. Îáîñíîâàíèå ìåòîäà Ôóðüå. Âîçìîæíîñòü ïðèìåíåíèÿ ìåòî-
äà Ôóðüå äëÿ ðåøåíèÿ íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (1.1)(1.3) îñíîâûâàåòñÿ
íà ñëåäóþùåé òåîðåìå î äîñòàòî÷íûõ óñëîâèÿõ ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè
óíêöèîíàëüíîãî ðÿäà (1.14) è åãî ïî÷ëåííîãî äèåðåíöèðîâàíèÿ.
   Òåîðåìà 1.1. Åñëè óíêöèÿ ϕ0 äâàæäû íåïðåðûâíî-äèåðåíöèðóåìà
íà èíòåðâàëå [0, l], èìååò êóñî÷íî-íåïðåðûâíóþ òðåòüþ ïðîèçâîäíóþ è
óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì

                         ϕ0(0) = ϕ0 (l) = 0, ϕ′′0 (0) = ϕ′′0 (l) = 0,                 (1.18)

à óíêöèÿ ϕ1 íåïðåðûâíî-äèåðåíöèðóåìà íà [0, l], èìååò êóñî÷íî-
íåïðåðûâíóþ âòîðóþ ïðîèçâîäíóþ u óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì

                                    ϕ1 (0) = ϕ1(l) = 0,                               (1.19)

òî óíêöèÿ u, îïðåäåëÿåìàÿ ðÿäîì (1.14), èìååò íåïðåðûâíûå ïðîèçâîä-
íûå âòîðîãî ïîðÿäêà â çàìêíóòîé îáëàñòè QT è óäîâëåòâîðÿåò óðàâíå-
íèþ (1.1) â êàæäîé òî÷êå (x, t) ∈ QT , ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (1.2) ïðè
t ∈ [0, T ] è íà÷àëüíûì óñëîâèÿì (1.3) ïðè x ∈ [0, l]. Ïðè ýòîì âîçìîæíî
ïî÷ëåííîå äèåðåíöèðîâàíèå ðÿäà (1.14) ïî x è t äâà ðàçà, è ïîëó÷åííûå
ðÿäû ñõîäÿòñÿ àáñîëþòíî è ðàâíîìåðíî â QT .
   Äîêàçàòåëüñòâî. Èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì â (1.17) è ïðèíèìàÿ âî âíè-
ìàíèå (1.18) è (1.19), ïîëó÷èì
                                 3 (3)           3 (2)
                                 l  bk             l  ak
                         ak = −        3
                                         , bk = −          ,                          (1.20)
                                 π   k             π ak 3
ãäå
                   Zl                                    Zl
       (3)     2                    kπx      (2)   2                        kπx
      bk     =          ϕ′′′
                         0   (x)cos     dx, ak   =            ϕ′′1 (x)sin       dx.   (1.21)
               l                     l             al                        l
                   0                                     0

Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ðÿäû
                                   ∞   (2)         ∞   (3)
                                   X |a | k
                                                   X |b |k
                                              ,                                       (1.22)
                                         k               k
                                   k=1             k=1


                                              10

Страницы