Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

k
k
ω
1
ω
2
ω
1
=
π
l
a =
π
l
s
T
ρ
, ω
2
=
2π
l
s
T
ρ
, ... .
α
k
k
k
ω
1
l ρ T
α
k
l, ρ T
ϕ
0
ϕ
1
f(x, t)
∂
2
u
∂t
2
= a
2
∂
2
u
∂x
2
+ f(x, t)
Q
T
= (0, l) × (0, T ],
u|
x=0
= 0, u|
x=l
= 0 (0, T ]
u|
t=0
= ϕ
0
(x),
∂u
∂t
t=0
= ϕ
1
(x)
(0, l).
u = v + w.
ïðèÿòèÿ çâóêà îðãàíàìè ñëóõà ÷åëîâåêà, îòìåòèì, ÷òî èçëó÷àåìûé ñòðó-
íîé çâóê ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóïåðïîçèöèþ (ñóììó) ïðîñòåéøèõ ãàðìîíè-
÷åñêèõ çâóêîâûõ êîëåáàíèé, íàçûâàåìûõ ïðîñòûìè òîíàìè. Êàæäûé (k -
ûé) òàêîé òîí îòâå÷àåò êîíêðåòíîé (k -îé) ãàðìîíèêå ñòðóíû, ò. å. èçëó÷à-
åòñÿ, êîãäà ñòðóíà ñîâåðøàåò ÷èñòîå ãàðìîíè÷åñêîå êîëåáàíèå, îïèñûâàå-
ìîå óíêöèåé (1.26). ×àñòîòà ïåðâîãî (ñàìîãî íèçêîãî) òîíà ñîâïàäàåò ñ
÷àñòîòîé ω1 ïåðâîé ãàðìîíèêè ñòðóíû, ÷àñòîòà âòîðîãî òîíà ñîâïàäàåò ñ
÷àñòîòîé ω2 , è ò. ä. Çäåñü ñ ó÷åòîì (1.27) èìååì
                                  s              s
                          π     π T           2π T
                     ω1 = a =         , ω2 =         , ... .        (1.30)
                          l     l ρ            l   ρ

Àìïëèòóäà k-ãî òîíà îïðåäåëÿåòñÿ àìïëèòóäîé αk k -îé ãàðìîíèêè, êîòî-
ðàÿ â ñèëó (1.24) è (1.17) óáûâàåò ñ ðîñòîì k êàê êîýèöèåíò ñõîäÿùå-
ãîñÿ ðÿäà Ôóðüå. Ñ ó÷åòîì ýòîãî âëèÿíèå âñåõ ãàðìîíèê íà çâóê, èçëó÷àå-
ìûé ñòðóíîé, ñâîäèòñÿ ê ñîçäàíèþ òåìáðà, ò. å. êà÷åñòâà çâóêà. Ïîñëåäíåå
îïðåäåëÿåòñÿ, ñ îäíîé ñòîðîíû, îñíîâíîé ÷àñòîòîé ω1 , çàâèñÿùåé ñîãëàñíî
(1.30) îò äëèíû l, ïëîòíîñòè ρ è íàòÿæåíèÿ T ñòðóíû, à ñ äðóãîé ñòîðîíû
 õàðàêòåðîì óáûâàíèÿ ê íóëþ àìïëèòóä αk ãàðìîíèê. Ïîñêîëüêó òåìáð
çâóêà, èçäàâàåìîãî ñòðóíîé, çàâèñèò îò ïàðàìåòðîâ l, ρ è T , òî, ìåíÿÿ ýòè
ïàðàìåòðû è âûáèðàÿ íóæíûì îáðàçîì óíêöèè ϕ0 è ϕ1 , ìîæíî ñîçäàòü
çâóê, íàèáîëåå ïðèÿòíûé â ìóçûêàëüíîì îòíîøåíèè. Áîëåå ïîäðîáíî îá
ýòîì ìîæíî ïðî÷èòàòü â ëèòåðàòóðå ïî èçèîëîãè÷åñêîé àêóñòèêå (ñì.
òàêæå [56, ñ. 9396℄).
  1.4. Âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ ñòðóíû, çàêðåïëåííîé íà êîí-
öàõ. àññìîòðèì â ýòîì ïóíêòå çàäà÷ó îïðåäåëåíèÿ âûíóæäåííûõ êîëåáà-
íèé îäíîðîäíîé ñòðóíû, çàêðåïëåííîé íà êîíöàõ, ïîä äåéñòâèåì âíåøíèõ
èñòî÷íèêîâ ñ îáúåìíîé ïëîòíîñòüþ f (x, t). Óêàçàííàÿ çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê
íàõîæäåíèþ ðåøåíèÿ íåîäíîðîäíîãî âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ
            ∂ 2u      2
                    2∂ u
                 = a     + f (x, t) â QT = (0, l) × (0, T ],          (1.31)
            ∂t2      ∂x2
óäîâëåòâîðÿþùåãî ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì
                    u|x=0 = 0, u|x=l = 0        â     (0, T ]         (1.32)
è íà÷àëüíûì óñëîâèÿì
                                 ∂u
               u|t=0 = ϕ0 (x),              = ϕ1(x)    â    (0, l).   (1.33)
                                 ∂t   t=0

  Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è â âèäå ñóììû
                                 u = v + w.                           (1.34)

                                      13

Страницы