Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

w|
x=0
= g
1
(t), w|
x=l
= g
2
(t).
u
u = v + w,
v
v
v|
x=0
= 0 v|
x=l
= 0
v|
t=0
= u|
t=0
− w|
t=0
= ϕ
0
(x) − g
1
(0) − [g
2
(0) − g
1
(0)]
x
l
≡
ϕ
0
(x),
∂v
∂t
t=0
=
∂u
∂t
t=0
−
∂w
∂t
t=0
= ϕ
1
(x) − g
′
1
(0) − [g
′
2
(0) − g
′
1
(0)]
x
l
≡
ϕ
1
(x).
∂
2
v
∂t
2
= a
2
∂
2
v
∂x
2
+
¯
f(x, t),
¯
f(x, t) = f(x, t) − g
′′
1
(t) − [g
′′
2
(t) − g
′′
1
(t)]
x
l
.
v
∂
2
v
∂t
2
= a
2
∂
2
v
∂x
2
+
¯
f(x, t), v|
x=0
= 0, v|
x=l
= 0, v|
t=0
=
ϕ
0
(x),
∂v
∂t
t=o
=
ϕ
1
(x).
v
R
2
R
3
R
2
R
3
ßñíî, ÷òî
                                 w|x=0 = g1 (t), w|x=l = g2 (t).                           (1.55)
  åøåíèå u çàäà÷è (1.51)(1.53) áóäåì èñêàòü â âèäå

                                               u = v + w,                                  (1.56)

ãäå v  íîâàÿ íåèçâåñòíàÿ óíêöèÿ. Èç ëèíåéíîñòè ãðàíè÷íûõ è íà÷àëüíûõ
óñëîâèé â (1.52), (1.53) è (1.55) âûòåêàåò, ÷òî óíêöèÿ v äîëæíà óäîâëåòâî-
ðÿòü îäíîðîäíûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì v|x=0 = 0, v|x=l = 0 è íà÷àëüíûì
óñëîâèÿì
                                                                  x
        v|t=0 = u|t=0 − w|t=0 = ϕ0(x) − g1 (0) − [g2 (0) − g1 (0)] ≡ ϕ0(x),
                                                                  l
   ∂v             ∂u             ∂w                                                 x
              =              −              = ϕ1 (x) − g1′ (0) − [g2′ (0) − g1′ (0)] ≡ ϕ1 (x).
   ∂t   t=0       ∂t   t=0       ∂t   t=0                                           l
Ïîäñòàâëÿÿ äàëåå (1.56) â óðàâíåíèå (1.51), ïîëó÷èì

     ∂ 2v      2
             2∂ v   ¯(x, t), f¯(x, t) = f (x, t) − g ′′ (t) − [g ′′ (t) − g ′′ (t)] x .
          = a     + f                               1           2          1
     ∂t2      ∂x2                                                                   l
   ðåçóëüòàòå èñõîäíàÿ çàäà÷à (1.51)(1.53) ñâåëàñü ê çàäà÷å íàõîæäåíèÿ
óíêöèè v èç óñëîâèé
 ∂ 2v     2
        2∂ v                                                   ∂v
    2
      =a    2
              + f¯(x, t), v|x=0 = 0, v|x=l = 0, v|t=0 = ϕ0(x),                          = ϕ1 (x).
 ∂t      ∂x                                                    ∂t                 t=o
                                                                   (1.57)
Îïðåäåëèâ ðåøåíèå v çàäà÷è (1.57) èçëîæåííûì â ï. 1.4 ìåòîäîì è ïîäñòà-
âèâ â (1.56), ïîëó÷èì èñêîìîå ðåøåíèå èñõîäíîé çàäà÷è (1.51)(1.53).
   1.6. Íåêîòîðûå çàìå÷àíèÿ î ìåòîäå Ôóðüå. Îïèñàííûé âûøå ìå-
òîä Ôóðüå ïðèìåíÿåòñÿ ïî àíàëîãè÷íîé ñõåìå è äëÿ ðåøåíèÿ äðóãèõ çàäà÷
ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè: êàê îäíîìåðíûõ òàê è ìíîãîìåðíûõ, ñòàöèîíàð-
íûõ ëèáî íåñòàöèîíàðíûõ, â ïðîñòðàíñòâåííûõ îáëàñòÿõ, êàê ñ ïðÿìîëè-
íåéíûìè ãðàíèöàìè òèïà ïðÿìîóãîëüíèêà íà ïëîñêîñòè R2 ëèáî ïàðàë-
ëåëèïèïåäà â ïðîñòðàíñòâå R3 , òàê è ñ êðèâîëèíåéíûìè ãðàíèöàìè òèïà
êðóãà è ýëëèïñà â R2 , øàðà, ýëëèïñîèäà, ñåðîèäà è ò. ä. â R3 . Ñëåäóåò,
îäíàêî, îòìåòèòü, ÷òî ìåòîä Ôóðüå ìîæíî ïðèìåíÿòü äëÿ ðåøåíèÿ ëèøü
äîñòàòî÷íî óçêîãî êëàññà çàäà÷ ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè, à èìåííî, òåõ çà-
äà÷, êîòîðûå (âûðàæàÿñü ÿçûêîì ñîâðåìåííîé òåðìèíîëîãèè) äîïóñêàþò
ðàçäåëåíèå ïåðåìåííûõ.
   Âîçìîæíîñòü òàêîãî ðàçäåëåíèÿ çàâèñèò, ñ îäíîé ñòîðîíû, îò ðàññìàòðè-
âàåìîãî óðàâíåíèÿ ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè, êîòîðîå ëèáî äîëæíî áûòü
óðàâíåíèåì ñ ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè (êàê óðàâíåíèå (1.1)), ëèáî

                                                    17

Страницы