Колебания и волны. Алешкевич В.А - 141 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Êîëåáàíèÿ è âîëíû
140
Ã. äå Ôðèñ âûâåëè óðàâíåíèå, îïèñûâàþùåå óåäèíåííûå âîëíû. Ýòî óðàâíåíèå ïîëó÷è-
ëî íàçâàíèå óðàâíåíèÿ Êîðòåâåãàäå Ôðèñà (óðàâíåíèå ÊÄÔ) è èìååò âèä
0
62
3
3
32
0
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
x
sH
x
s
s
Hx
s
c
t
s
. (6.65)
Îíî îïèñûâàåò ðàñïðîñòðàíåíèå ïîâåðõíîñòíûõ ãðàâèòàöèîííûõ âîëí íà ìåëêîé âîäå.
Çäåñü
gHc =
0
 ñêîðîñòü âîëí ìåëêîé âîäû, H  ãëóáèíà âîäîåìà. Îòìåòèì ñðàçó,
÷òî ïî âèäó óðàâíåíèå ÊÄÔ îòëè÷àåòñÿ îò íåëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ (6.50) íàëè÷èåì äî-
ïîëíèòåëüíîãî ÷ëåíà
3
32
6
x
sH
∂
∂
, îòâåòñòâåííîãî çà äèñïåðñèþ ãðàâèòàöèîííûõ âîëí (õîòÿ
è íåáîëüøóþ íà ìåëêîé âîäå).
Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî ïîäðîáíåå âëèÿíèå íåëèíåéíîñòè è äèñïåðñèè íà ðàñ-
ïðîñòðàíåíèå ïîâåðõíîñòíûõ ãðàâèòàöèîííûõ âîëí. Ïî àíàëîãèè ñ íåëèíåéíûìè àêóñ-
òè÷åñêèìè âîëíàìè ñðàçó ìîæåì ñêàçàòü, ÷òî ñêîðîñòü ðàçëè÷íûõ ó÷àñòêîâ ïîâåðõíîñò-
íîé âîëíû áóäåò ðàçëè÷íà:
+=
H
s
cc
2
3
1
0
. (6.66)
Èç-çà ðàçëè÷èÿ ñêîðîñòåé (ãðåáåíü âîëíû äâèæåòñÿ áûñòðåå âïàäèíû) ïðîèñõîäèò
ïðåâðàùåíèå ãàðìîíè÷åñêîé âîëíû â ïèëîîáðàçíóþ. Êðóòîé ôðîíò ïîä äåéñòâèåì ñèëû
òÿæåñòè îïðîêèäûâàåòñÿ, è íà ïîâåðõíîñòè âîäû ïîÿâëÿþòñÿ ïåíèñòûå ãðåáåøêè. Îïðîêè-
äûâàíèå ôðîíòà ëåãêî íàáëþäàòü ïðè äâèæåíèè âîëíû ïî ìåëêîâîäüþ âáëèçè áåðåãà
(ðèñ.6.12). Îäíàêî â ðÿäå ñëó÷àåâ íåëèíåéíîå èñêàæåíèå âîëíû ìîæåò êîìïåíñèðîâàòüñÿ
äèñïåðñèåé. Â ñàìîì äåëå, ïè-
ëîîáðàçíàÿ âîëíà ïðåäñòàâëÿ-
åò ñîáîé íàáîð ãàðìîíè÷åñêèõ
âîëí ñ ðàçíûìè ÷àñòîòàìè. Èç-
çà äèñïåðñèè ýòè âîëíû äâè-
æóòñÿ ñ ðàçíûìè ñêîðîñòÿìè,
è ïîýòîìó ïèëîîáðàçíûé
ôðàãìåíò âîëíû, ïîäîáíî èì-
ïóëüñó, ñòðåìèòñÿ ðàñøèðèòü-
ñÿ. Ïðè îïðåäåëåííîé ôîðìå
ôðàãìåíòà îáà êîíêóðèðóþ-
ùèõ ìåõàíèçìà ìîãóò êîìïåí-
ñèðîâàòü äðóã äðóãà, è òîãäà ïî
ïîâåðõíîñòè âîäû ïîáåæèò óñ-
òîé÷èâàÿ ñòðóêòóðà â âèäå
óåäèíåííîé âîëíû (ñîëèòîíà).
Âûÿñíèì íåêîòîðûå ñâîéñòâà
ýòîé óåäèíåííîé âîëíû.
Ðèñ. 6.12.
140                                                          Êîëåáàíèÿ è âîëíû

Ã. äå Ôðèñ âûâåëè óðàâíåíèå, îïèñûâàþùåå óåäèíåííûå âîëíû. Ýòî óðàâíåíèå ïîëó÷è-
ëî íàçâàíèå óðàâíåíèÿ Êîðòåâåãà–äå Ôðèñà (óðàâíåíèå ÊÄÔ) è èìååò âèä
                      ∂s         ∂s  3 ∂s H 2 ∂ 3 s 
                          + c0  +     s +             =0.             (6.65)
                       ∂t        ∂x 2 H ∂x 6 ∂x 3 
Îíî îïèñûâàåò ðàñïðîñòðàíåíèå ïîâåðõíîñòíûõ ãðàâèòàöèîííûõ âîëí íà ìåëêîé âîäå.
Çäåñü c 0 = gH — ñêîðîñòü âîëí ìåëêîé âîäû, H — ãëóáèíà âîäîåìà. Îòìåòèì ñðàçó,
÷òî ïî âèäó óðàâíåíèå ÊÄÔ îòëè÷àåòñÿ îò íåëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ (6.50) íàëè÷èåì äî-
                   H 2 ∂ 3s
ïîëíèòåëüíîãî ÷ëåíà         , îòâåòñòâåííîãî çà äèñïåðñèþ ãðàâèòàöèîííûõ âîëí (õîòÿ
                    6 ∂x 3
è íåáîëüøóþ íà ìåëêîé âîäå).
        Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî ïîäðîáíåå âëèÿíèå íåëèíåéíîñòè è äèñïåðñèè íà ðàñ-
ïðîñòðàíåíèå ïîâåðõíîñòíûõ ãðàâèòàöèîííûõ âîëí. Ïî àíàëîãèè ñ íåëèíåéíûìè àêóñ-
òè÷åñêèìè âîëíàìè ñðàçó ìîæåì ñêàçàòü, ÷òî ñêîðîñòü ðàçëè÷íûõ ó÷àñòêîâ ïîâåðõíîñò-
íîé âîëíû áóäåò ðàçëè÷íà:

                                               3s 
                                   c = c 0 1 +    .                         (6.66)
                                            2H 
        Èç-çà ðàçëè÷èÿ ñêîðîñòåé (ãðåáåíü âîëíû äâèæåòñÿ áûñòðåå âïàäèíû) ïðîèñõîäèò
ïðåâðàùåíèå ãàðìîíè÷åñêîé âîëíû â ïèëîîáðàçíóþ. Êðóòîé ôðîíò ïîä äåéñòâèåì ñèëû
òÿæåñòè îïðîêèäûâàåòñÿ, è íà ïîâåðõíîñòè âîäû ïîÿâëÿþòñÿ ïåíèñòûå ãðåáåøêè. Îïðîêè-
äûâàíèå ôðîíòà ëåãêî íàáëþäàòü ïðè äâèæåíèè âîëíû ïî ìåëêîâîäüþ âáëèçè áåðåãà
(ðèñ. 6.12). Îäíàêî â ðÿäå ñëó÷àåâ íåëèíåéíîå èñêàæåíèå âîëíû ìîæåò êîìïåíñèðîâàòüñÿ
                                                          äèñïåðñèåé. Â ñàìîì äåëå, ïè-
                                                          ëîîáðàçíàÿ âîëíà ïðåäñòàâëÿ-
                                                          åò ñîáîé íàáîð ãàðìîíè÷åñêèõ
                                                          âîëí ñ ðàçíûìè ÷àñòîòàìè. Èç-
                                                          çà äèñïåðñèè ýòè âîëíû äâè-
                                                          æóòñÿ ñ ðàçíûìè ñêîðîñòÿìè,
                                                          è ïîýòîìó ïèëîîáðàçíûé
                                                          ôðàãìåíò âîëíû, ïîäîáíî èì-
                                                          ïóëüñó, ñòðåìèòñÿ ðàñøèðèòü-
                                                          ñÿ. Ïðè îïðåäåëåííîé ôîðìå
                                                          ôðàãìåíòà îáà êîíêóðèðóþ-
                                                          ùèõ ìåõàíèçìà ìîãóò êîìïåí-
                                                          ñèðîâàòü äðóã äðóãà, è òîãäà ïî
                                                          ïîâåðõíîñòè âîäû ïîáåæèò óñ-
                                                          òîé÷èâàÿ ñòðóêòóðà â âèäå
                                                          óåäèíåííîé âîëíû (ñîëèòîíà).
                                                          Âûÿñíèì íåêîòîðûå ñâîéñòâà
                        Ðèñ. 6.12.                        ýòîé óåäèíåííîé âîëíû.

Страницы