ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
141
Ëåêöèÿ 6
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñîëè-
òîí èìååò àìïëèòóäó s
0
, ïðîòÿ-
æåííîñòü âäîëü îñè Ox, ðàâíóþ l,
è ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íåêîòîðûé
õîëìèê, èçîáðàæåííûé íà ðèñóí-
êå 6.13. Îöåíèì âåëè÷èíû íåëè-
íåéíîãî è äèñïåðñèîííîãî ÷ëåíîâ
â óðàâíåíèè ÊÄÔ:
3
2
1
6
0
0
23
3
2
0
3
H
s
s
xH
s
s
Hs
x
H
s
∂
∂
∂
∂
~;
~.
l
l
−
(6.67)
 (6.67) ó÷òåíî, ÷òî íà ïåðåäíåì è çàäíåì ôðîíòàõ õîëìèêà
0
3
3
<
∂
∂
x
s
. Åñòåñòâåííî, ÷òî
îáà ìåõàíèçìà áóäóò êîìïåíñèðîâàòü äðóã äðóãà ïðè óñëîâèè
1
0
0
0
2
0
3
H
s
s
H
s
l
l
−≈
. (6.68)
Ïîñëåäíåå íàêëàäûâàåò ñâÿçü íà àìïëèòóäó s
0
è äëèíó
l
ñîëèòîíà:
0
3
2
s
H
≈l
. (6.69)
Òàêèì îáðàçîì, ÷åì áîëüøå àìïëèòóäà ñîëèòîíà s
0
, òåì ìåíüøå äîëæíà áûòü
åãî äëèíà l. Ñêîðîñòü ñîëèòîíà c âîçðàñòàåò ñ ðîñòîì àìïëèòóäû, ÷òî õàðàêòåðíî äëÿ
íåëèíåéíîãî ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëí.
Òî÷íîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ÊÄÔ, îïèñûâàþùåå ñîëèòîí, èìååò âèä
−
=
l
ctx
s
xts
2
0
ch
),(
. (6.70)
Ïðè ýòîì äëèíà ñîëèòîíà l ñâÿçàíà ñ àìïëèòóäîé s
0
ñîîòíîøåíèåì
0
3
2
3
4
s
H
=l
, (6.71)
à ñêîðîñòü
+=
H
s
cc
2
1
0
0
. (6.72)
Åñëè
Hs <<
0
, òî ïîñëåäíåå âûðàæåíèå ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå
)(
2
1
1
0
0
sHg
H
s
gHc +≈
+=
. (6.73)
Ýòó ôîðìóëó ìû óæå çàïèñûâàëè ïðè êà÷åñòâåííîì îáñóæäåíèè ïîâåäåíèÿ ãðà-
âèòàöèîííûõ âîëí ïî ìåðå èõ ïðèáëèæåíèÿ ê áåðåãó.
l
H
c
0
s
0
s
x
Ðèñ. 6.13.
Ëåêöèÿ 6 141
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñîëè- s
òîí èìååò àìïëèòóäó s 0 , ïðîòÿ- s0 c
æåííîñòü âäîëü îñè Ox, ðàâíóþ l,
è ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íåêîòîðûé
0 x
õîëìèê, èçîáðàæåííûé íà ðèñóí-
l
êå 6.13. Îöåíèì âåëè÷èíû íåëè- H
íåéíîãî è äèñïåðñèîííîãî ÷ëåíîâ
â óðàâíåíèè ÊÄÔ:
Ðèñ. 6.13.
3 ∂s 1 s
s ~ s0 0 ;
2H ∂x H l
H2 3
∂ s s (6.67)
~ − H 2 03 .
6 ∂x 3 l
∂ 3s
 (6.67) ó÷òåíî, ÷òî íà ïåðåäíåì è çàäíåì ôðîíòàõ õîëìèêà < 0 . Åñòåñòâåííî, ÷òî
∂x 3
îáà ìåõàíèçìà áóäóò êîìïåíñèðîâàòü äðóã äðóãà ïðè óñëîâèè
1 s s
s0 0 − H 2 03 ≈ 0 . (6.68)
H l l
Ïîñëåäíåå íàêëàäûâàåò ñâÿçü íà àìïëèòóäó s0 è äëèíó l ñîëèòîíà:
H3
l2 ≈ . (6.69)
s0
Òàêèì îáðàçîì, ÷åì áîëüøå àìïëèòóäà ñîëèòîíà s0, òåì ìåíüøå äîëæíà áûòü
åãî äëèíà l. Ñêîðîñòü ñîëèòîíà c âîçðàñòàåò ñ ðîñòîì àìïëèòóäû, ÷òî õàðàêòåðíî äëÿ
íåëèíåéíîãî ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëí.
Òî÷íîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ÊÄÔ, îïèñûâàþùåå ñîëèòîí, èìååò âèä
s0
s (t , x ) = . (6.70)
2 x − ct
ch
l
Ïðè ýòîì äëèíà ñîëèòîíà l ñâÿçàíà ñ àìïëèòóäîé s0 ñîîòíîøåíèåì
4H 3
l2 = , (6.71)
3s 0
à ñêîðîñòü
s
c = c 0 1 + 0 . (6.72)
2 H
Åñëè s 0 << H , òî ïîñëåäíåå âûðàæåíèå ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå
1 s0
c = gH 1 + ≈ g ( H + s0 ) . (6.73)
2H
Ýòó ôîðìóëó ìû óæå çàïèñûâàëè ïðè êà÷åñòâåííîì îáñóæäåíèè ïîâåäåíèÿ ãðà-
âèòàöèîííûõ âîëí ïî ìåðå èõ ïðèáëèæåíèÿ ê áåðåãó.
