Колебания и волны. Алешкевич В.А - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Êîëåáàíèÿ è âîëíû
36
êîëåáàíèé îòêëîíÿåòñÿ íà íåêîòîðûé ìàêñèìàëüíûé óãîë, êîòîðûé ïðîïîðöèîíàëåí
èíòåãðàëó îò ïðîòåêøåãî ÷åðåç ðàìêó òîêà, ò.å. âåëè÷èíå ïðîòåêøåãî çàðÿäà.
Óñòàíîâëåíèå êîëåáàíèé. Ìû óæå îòìå÷àëè, ÷òî åñëè ïðèëîæèòü ê ïîêîÿùåìóñÿ
ìàÿòíèêó ãàðìîíè÷åñêóþ ñèëó â ìîìåíò âðåìåíè
,t 0=
òî ìàÿòíèê íà÷íåò ïîñòåïåííî
ðàñêà÷èâàòüñÿ, êàê ýòî êà÷åñòâåííî èçîáðàæåíî íà ðèñ. 2.7à. Óñòàíîâëåíèå êîëåáàíèé ñâÿçàíî
ñ òåì ôàêòîì, ÷òî íàðÿäó ñ âûíóæäåííûìè êîëåáàíèÿìè íà ÷àñòîòå
ω
áóäóò âîçáóæäåíû è
ñîáñòâåííûå êîëåáàíèÿ íà ÷àñòîòå
,
22
0
δ−ω
êîòîðûå, êîíå÷íî, áóäóò çàòóõàòü.
Èç ìàòåìàòèêè èçâåñòíî, ÷òî îáùåå ðåøåíèå ëèíåéíîãî íåîäíîðîäíîãî
óðàâíåíèÿ (2.10) ïðè δ<ω
0
èìååò âèä:
),sin()sin()(
00c
22
00c
ϕ+ω+ϕ+δ−ω=
δ−
tstests
t
(2.50)
ïðåäñòàâëÿþùèé ñîáîé ñóïåðïîçèöèþ ñîáñòâåííûõ çàòóõàþùèõ êîëåáàíèé íà ÷àñòîòå
22
0
δ−ω
è íåçàòóõàþùèõ âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé íà ÷àñòîòå ω. Èç (2.50) âèäíî, ÷òî
êîëåáàíèÿ óñòàíîâÿòñÿ ëèøü òîãäà, êîãäà çàòóõíóò ñîáñòâåííûå êîëåáàíèÿ. Ýòî ïðîèçîéäåò
ïî èñòå÷åíèè âðåìåíè
δ
=τ∆
1
~
óñò
t
. (2.51)
Çà ýòî âðåìÿ â ñèñòåìó «çàêà÷èâàåòñÿ» ýíåðãèÿ, ïîñêîëüêó äî óñòàíîâëåíèÿ
êîëåáàíèé ðàáîòà âíåøíåé ñèëû ïðåâûøàåò ðàáîòó ñèë òðåíèÿ. Â óñòàíîâèâøåìñÿ ðåæèìå
èìååò ìåñòî áàëàíñ ïîñòóïàþùåé è ðàñõîäóåìîé ýíåðãèé.
 ÷àñòíîñòè, åñëè
22
0
δ−ω=ω
, òî (2.50) ïðè s(0) = 0,
0)0( =s
&
è δ<<ω
0
, êàê
íåòðóäíî ïîêàçàòü, èìååò âèä
)2/sin()1()(
0
π−ω−=
δ−
tests
t
, (2.52)
ïîñêîëüêó ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ
,
00c
ss =
2
0c
π
≈ϕ−=ϕ
.
Îòìåòèì, ÷òî ôîðìóëà (2.51) îïðåäåëÿåò ëèøü ïîðÿäîê âåëè÷èíû (âðåìåííîé
ìàñøòàá)
.
óñò
t
∆
Äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ öåëåé âðåìÿ óñòàíîâëåíèÿ (ðàâíî êàê è âðåìÿ
çàòóõàíèÿ) êîëåáàíèé ïðèíèìàþò ðàâíûì
.)53(
óñò
τ÷=∆
t
s
t
0
s
0
s
0
Dt
óñò
Ðèñ. 2.7à.
s
s
Ðèñ. 2.7á.
36                                                                          Êîëåáàíèÿ è âîëíû

êîëåáàíèé îòêëîíÿåòñÿ íà íåêîòîðûé ìàêñèìàëüíûé óãîë, êîòîðûé ïðîïîðöèîíàëåí
èíòåãðàëó îò ïðîòåêøåãî ÷åðåç ðàìêó òîêà, ò.å. âåëè÷èíå ïðîòåêøåãî çàðÿäà.


        Óñòàíîâëåíèå êîëåáàíèé. Ìû óæå îòìå÷àëè, ÷òî åñëè ïðèëîæèòü ê ïîêîÿùåìóñÿ
ìàÿòíèêó ãàðìîíè÷åñêóþ ñèëó â ìîìåíò âðåìåíè t = 0 , òî ìàÿòíèê íà÷íåò ïîñòåïåííî
ðàñêà÷èâàòüñÿ, êàê ýòî êà÷åñòâåííî èçîáðàæåíî íà ðèñ. 2.7à. Óñòàíîâëåíèå êîëåáàíèé ñâÿçàíî
ñ òåì ôàêòîì, ÷òî íàðÿäó ñ âûíóæäåííûìè êîëåáàíèÿìè íà ÷àñòîòå ω áóäóò âîçáóæäåíû è
ñîáñòâåííûå êîëåáàíèÿ íà ÷àñòîòå         ω02 − δ 2 , êîòîðûå, êîíå÷íî, áóäóò çàòóõàòü.
       Èç ìàòåìàòèêè èçâåñòíî, ÷òî îáùåå ðåøåíèå ëèíåéíîãî íåîäíîðîäíîãî
óðàâíåíèÿ (2.10) ïðè δ < ω0 èìååò âèä:
                   s (t ) = s 0c e − δt sin( ω 02 − δ 2 t + ϕ c ) + s 0 sin(ωt + ϕ 0 ),       (2.50)
ïðåäñòàâëÿþùèé ñîáîé ñóïåðïîçèöèþ ñîáñòâåííûõ çàòóõàþùèõ êîëåáàíèé íà ÷àñòîòå
  ω02 − δ 2 è íåçàòóõàþùèõ âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé íà ÷àñòîòå ω. Èç (2.50) âèäíî, ÷òî
êîëåáàíèÿ óñòàíîâÿòñÿ ëèøü òîãäà, êîãäà çàòóõíóò ñîáñòâåííûå êîëåáàíèÿ. Ýòî ïðîèçîéäåò
ïî èñòå÷åíèè âðåìåíè
                                                 1
                                     ∆t óñò ~ τ = .                             (2.51)
                                                 δ
        Çà ýòî âðåìÿ â ñèñòåìó «çàêà÷èâàåòñÿ» ýíåðãèÿ, ïîñêîëüêó äî óñòàíîâëåíèÿ
êîëåáàíèé ðàáîòà âíåøíåé ñèëû ïðåâûøàåò ðàáîòó ñèë òðåíèÿ. Â óñòàíîâèâøåìñÿ ðåæèìå
èìååò ìåñòî áàëàíñ ïîñòóïàþùåé è ðàñõîäóåìîé ýíåðãèé.
         ÷àñòíîñòè, åñëè ω = ω02 − δ 2 , òî (2.50) ïðè s(0) = 0, s&(0) = 0 è δ << ω0, êàê
íåòðóäíî ïîêàçàòü, èìååò âèä
                          s (t ) = s0 (1 − e −δt ) sin(ωt − π / 2) ,     (2.52)
                                                          π
ïîñêîëüêó ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ s 0c = s 0 , ϕ c = −ϕ 0 ≈ .
                                                          2
       Îòìåòèì, ÷òî ôîðìóëà (2.51) îïðåäåëÿåò ëèøü ïîðÿäîê âåëè÷èíû (âðåìåííîé
ìàñøòàá) ∆t óñò . Äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ öåëåé âðåìÿ óñòàíîâëåíèÿ (ðàâíî êàê è âðåìÿ
çàòóõàíèÿ) êîëåáàíèé ïðèíèìàþò ðàâíûì ∆t óñò = (3 ÷ 5)τ.

 s                                                                                  s
 s0



 0
                                                          t                                       s



–s0

                       Dt óñò
                   Ðèñ. 2.7à.                                                    Ðèñ. 2.7á.

Страницы