Колебания и волны. Алешкевич В.А - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Êîëåáàíèÿ è âîëíû
34
Ñêîðîñòü êîëåáëþùåéñÿ ìàññû ðàâíà:
),2sin(
00
π+ϕ+ωω= tss
&
(2.39)
à åå óñêîðåíèå:
)sin(
0
2
0
π+ϕ+ωω= tss
&&
, (2.40)
ò.å. àìïëèòóäíî-÷àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà äëÿ ñêîðîñòè ïîëó÷àåòñÿ óìíîæåíèåì À×Õ
(2.31) íà ω, à äëÿ óñêîðåíèÿ  íà ω
2
:
2
2
22
0
0
00
4
δ+
ω
ω−ω
=ω=
m
F
sv
,
2
2
2
2
2
0
0
2
00
41
ω
δ
+
−
ω
ω
=ω=
m
F
sw
.
Íà ðèñ. 2.6 èçîáðàæåíû ÷àñòîòíûå çàâèñèìîñòè àìïëèòóä ñêîðîñòè ω=
00
sv
è
óñêîðåíèÿ
.sw
2
00
ω=
Õàðàêòåðíî, ÷òî ðåçîíàíñ ñêîðîñòè ïðîèñõîäèò íà ÷àñòîòå
0
ω=ω
′
s
, à ðåçîíàíñ
óñêîðåíèÿ  ïðè
.
s
0
ω>ω
′′
Îòìåòèì, ÷òî âñå ðåçîíàíñíûå ÷àñòîòû ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé:
.
sss
2
0
2
ω=ω=ω⋅ω
′′′
(2.41)
Îòìåòèì òàêæå, ÷òî ïî ïðè÷èíàì, ðàññìîòðåííûì ðàíåå, â îáëàñòè íèçêèõ ÷àñ-
òîò ìàëû êàê óñêîðåíèå, òàê è ñêîðîñòü.  îáëàñòè âûñîêèõ ÷àñòîò óñêîðåíèå êîíå÷íî
)(
0
2
0
mFs →ω
è îáåñïå÷èâàåòñÿ ëèøü âíåøíåé ñèëîé. Îäíàêî ñêîðîñòü ïî-ïðåæíåìó
íåçíà÷èòåëüíà, ïîñêîëüêó òåëî íå óñïåâàåò ðàçîãíàòüñÿ.
Íå ïðåäñòàâëÿåò òðóäà íàðèñîâàòü ñàìîñòîÿòåëüíî ôàçî-÷àñòîòíûå õàðàêòåðèñ-
òèêè äëÿ ñêîðîñòè è äëÿ óñêîðåíèÿ, ïîëüçóÿñü ôîðìóëàìè (2.39) è (2.40), ïîñêîëüêó îíè
ïîëó÷àþòñÿ ïðîñòûì ñäâèãîì Ô×Õ äëÿ ñìåùåíèÿ (2.32), èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 2.5, ââåðõ
ñîîòâåòñòâåííî íà π/2 èëè íà π.
 çàêëþ÷åíèå ðàññìîòðèì âîïðîñ î ïîäâîäå ýíåðãèè ê îñöèëëÿòîðó ïðè
ïðîèçâîëüíîé ÷àñòîòå âûíóæäàþùåé ñèëû. Ñðåäíÿÿ çà ïåðèîä ìîùíîñòü ýòîé ñèëû ðàâíà
w
v
0
w
0
w
s
´
w
w
0
w
0
w
s
´´
F
0
m
=
00
Ðèñ. 2.6.
34                                                             Êîëåáàíèÿ è âîëíû

          Ñêîðîñòü êîëåáëþùåéñÿ ìàññû ðàâíà:
                             s& = s 0 ω sin(ωt + ϕ 0 + π 2),                     (2.39)
à åå óñêîðåíèå:
                                &s& = s 0 ω2 sin(ωt + ϕ 0 + π) ,             (2.40)
ò.å. àìïëèòóäíî-÷àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà äëÿ ñêîðîñòè ïîëó÷àåòñÿ óìíîæåíèåì À×Õ
(2.31) íà ω, à äëÿ óñêîðåíèÿ — íà ω2:
                                                        F0
                           v 0 = s0 ω =
                                                              2
                                                ω02 − ω 2 
                                           m                  + 4δ 2 ,
                                                     ω     
                                                           
                                       2                 F0
                           w0 = s 0 ω =
                                                             2
                                                  ω 02           δ2
                                            m  2 − 1 + 4 2 .
                                                 ω               ω
                                                          
         Íà ðèñ. 2.6 èçîáðàæåíû ÷àñòîòíûå çàâèñèìîñòè àìïëèòóä ñêîðîñòè v 0 = s 0 ω è
óñêîðåíèÿ w0 = s 0 ω2 .
          Õàðàêòåðíî, ÷òî ðåçîíàíñ ñêîðîñòè ïðîèñõîäèò íà ÷àñòîòå ω s′ = ω0 , à ðåçîíàíñ
óñêîðåíèÿ — ïðè ω s′′ > ω0 . Îòìåòèì, ÷òî âñå ðåçîíàíñíûå ÷àñòîòû ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé:
                                 ω s ⋅ ωs′′ = ω2s′ = ω02 .                   (2.41)
       Îòìåòèì òàêæå, ÷òî ïî ïðè÷èíàì, ðàññìîòðåííûì ðàíåå, â îáëàñòè íèçêèõ ÷àñ-
òîò ìàëû êàê óñêîðåíèå, òàê è ñêîðîñòü.  îáëàñòè âûñîêèõ ÷àñòîò óñêîðåíèå êîíå÷íî
( s 0 ω2 → F0 m) è îáåñïå÷èâàåòñÿ ëèøü âíåøíåé ñèëîé. Îäíàêî ñêîðîñòü ïî-ïðåæíåìó
íåçíà÷èòåëüíà, ïîñêîëüêó òåëî íå óñïåâàåò ðàçîãíàòüñÿ.
          Íå ïðåäñòàâëÿåò òðóäà íàðèñîâàòü ñàìîñòîÿòåëüíî ôàçî-÷àñòîòíûå õàðàêòåðèñ-
òèêè äëÿ ñêîðîñòè è äëÿ óñêîðåíèÿ, ïîëüçóÿñü ôîðìóëàìè (2.39) è (2.40), ïîñêîëüêó îíè
ïîëó÷àþòñÿ ïðîñòûì ñäâèãîì Ô×Õ äëÿ ñìåùåíèÿ (2.32), èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 2.5, ââåðõ
ñîîòâåòñòâåííî íà π/2 èëè íà π.
           çàêëþ÷åíèå ðàññìîòðèì âîïðîñ î ïîäâîäå ýíåðãèè ê îñöèëëÿòîðó ïðè
ïðîèçâîëüíîé ÷àñòîòå âûíóæäàþùåé ñèëû. Ñðåäíÿÿ çà ïåðèîä ìîùíîñòü ýòîé ñèëû ðàâíà
     v0                                           w0




                                                  F0
                                                  m


     0              w0 = ws´                  w 0              w0 ws´´               w
                                             Ðèñ. 2.6.

Страницы