Колебания и волны. Алешкевич В.А - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Êîëåáàíèÿ è âîëíû
32
Òîãäà óðàâíåíèå (2.10) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå:
$
&&
$
&
$
$
ss s
F
m
e
it
++ =2
0
2
0
δω
ω
. (2.28)
Êîìïëåêñíóþ àìïëèòóäó
$
sse
i
00
0
=
ϕ
ëåãêî íàõîäèì ïîäñòàíîâêîé (2.26) â (2.28):
()
$
$
−+ + =ωδωω
ωω
2
0
2
0
0
2ise
F
m
e
it it
. (2.29)
Îòñþäà ïîëó÷àåì:
$
$
()
s
F
mi
0
0
0
22
2
=
−+ωω δω
. (2.30)
Èç (2.30) íåòðóäíî íàéòè àìïëèòóäó êîëåáàíèé
ss
00
=
$
:
22222
0
0
0
4)(
ωδ+ω−ω
=
m
F
s
(2.31)
è ôàçó
ϕ
00
=
arg
$
s
:
tg ϕ
δω
ωω
0
0
0
2
0
2
2
==
−
Im
$
Re
$
s
s
, (2.32)
ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿþùèå âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ (2.25).
Çàâèñèìîñòü àìïëèòóäû s
0
îò ÷àñòîòû ω, çàäàâàåìàÿ ôîðìóëîé (2.31), íàçûâàåòñÿ
àìïëèòóäíî-÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêîé (À×Õ), à çàâèñèìîñòü ϕ
0
(ω), îïèñûâàåìàÿ ôîðìó-
ëîé (2.32), íàçûâàåòñÿ ôàçî-÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêîé (Ô×Õ). Íà ðèñ. 2.3 èçîáðàæåíà
À×Õ, êîòîðàÿ îòîáðàæàåò íàðàñòàíèå àìïëèòóäû s
0
ïðè ïðèáëèæåíèè ω ê ω
0
. Ýòî ÿâëåíèå
ïîëó÷èëî íàçâàíèå ðåçîíàíñà ñìåùåíèé. Èíòåðåñíî, ÷òî ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå àìïëè-
òóäû, â Q ðàç ïðåâîñõîäÿùåå ñòàòè÷åñêîå ñìåùåíèå F
0
/k, äîñòèãàåòñÿ íà ÷àñòîòå
,
s
22
0
2
δ−ω=ω
(2.33)
êîòîðàÿ íåñêîëüêî ìåíüøå êàê ñîáñòâåííîé ÷àñòîòû ω
0
, òàê è ÷àñòîòû çàòóõàþùèõ êîëå-
áàíèé
.
22
0
δ−ω
Äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ öåëåé äëÿ ÷àñòîò ω, ëåæàùèõ âáëèçè ÷àñòîòû ω
0
,
ôîðìóëà (2.31) ìîæåò áûòü çíà÷èòåëüíî óïðîùåíà. Òàê, ìîæíî ïîëîæèòü
( )()()();
.
ωω ωωωω ωω ω
δω δω
0
222
0
2
0
2
0
2
0
2
22 2
0
2
4
44
−=− +≈−⋅
≈
(2.34)
Ñ ó÷åòîì ïðèáëèæåíèé (2.34) ôîðìóëà (2.31) ïðèìåò âèä:
.
1
1
)(
2
0
0
0
+
δ
ω−ω
=ω Q
k
F
s
(2.35)
 ôèçèêå áåçðàçìåðíóþ ôóíêöèþ
1
1
)(
2
0
+
δ
ω−ω
=ωL
(2.36)
íàçûâàþò ëîðåíöåâîé, à ãðàôèê ýòîé ôóíêöèè íàçûâàþò ëîðåíöåâûì êîíòóðîì. Øèðè-
íó ∆ω ýòîãî êîíòóðà, îïðåäåëÿþùóþ îñòðîòó ðåçîíàíñà, íàõîäÿò èç óñëîâèÿ óáûâàíèÿ
32                                                                            Êîëåáàíèÿ è âîëíû

         Òîãäà óðàâíåíèå (2.10) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå:
                                                           $
                                   &&s$ + 2δs&$ + ω 2 s$ = F0 eiωt .             (2.28)
                                                    0
                                                           m
         Êîìïëåêñíóþ àìïëèòóäó s$0 = s0eiϕ 0 ëåãêî íàõîäèì ïîäñòàíîâêîé (2.26) â (2.28):
                                                                 F$
                           ( −ω 2 + 2iδω + ω 20 ) s$0eiωt = 0 eiωt .             (2.29)
                                                                 m
         Îòñþäà ïîëó÷àåì:
                                                       F$0
                                 s$0 =                               .           (2.30)
                                           m(ω 0 − ω 2 + 2iδω )
                                                 2

         Èç (2.30) íåòðóäíî íàéòè àìïëèòóäó êîëåáàíèé s0 = s$0 :
                                                        F0
                                    s0 =                                                   (2.31)
                                           m (ω02 − ω 2 ) 2 + 4δ 2 ω 2
è ôàçó ϕ 0 = arg s$0 :
                                Im s$0   2δω
                                      tg ϕ 0 =
                                       = 2      ,                                          (2.32)
                                    $
                                Re s0 ω − ω 20
ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿþùèå âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ (2.25).
         Çàâèñèìîñòü àìïëèòóäû s0 îò ÷àñòîòû ω, çàäàâàåìàÿ ôîðìóëîé (2.31), íàçûâàåòñÿ
àìïëèòóäíî-÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêîé (À×Õ), à çàâèñèìîñòü ϕ0(ω), îïèñûâàåìàÿ ôîðìó-
ëîé (2.32), íàçûâàåòñÿ ôàçî-÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêîé (Ô×Õ). Íà ðèñ. 2.3 èçîáðàæåíà
À×Õ, êîòîðàÿ îòîáðàæàåò íàðàñòàíèå àìïëèòóäû s0 ïðè ïðèáëèæåíèè ω ê ω0. Ýòî ÿâëåíèå
ïîëó÷èëî íàçâàíèå ðåçîíàíñà ñìåùåíèé. Èíòåðåñíî, ÷òî ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå àìïëè-
òóäû, â Q ðàç ïðåâîñõîäÿùåå ñòàòè÷åñêîå ñìåùåíèå F0/k, äîñòèãàåòñÿ íà ÷àñòîòå
                                            ω s = ω02 − 2δ 2 ,                             (2.33)
êîòîðàÿ íåñêîëüêî ìåíüøå êàê ñîáñòâåííîé ÷àñòîòû ω0, òàê è ÷àñòîòû çàòóõàþùèõ êîëå-
áàíèé  ω02 − δ 2 . Äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ öåëåé äëÿ ÷àñòîò ω, ëåæàùèõ âáëèçè ÷àñòîòû ω0,
ôîðìóëà (2.31) ìîæåò áûòü çíà÷èòåëüíî óïðîùåíà. Òàê, ìîæíî ïîëîæèòü

                     (ω 20 − ω 2 ) 2 = (ω 0 − ω) 2 (ω 0 + ω ) 2 ≈ (ω 0 − ω ) 2 ⋅ 4ω 20 ;
                                                                                           (2.34)
                                 4δ 2 ω 2 ≈ 4δ 2 ω 20 .
         Ñ ó÷åòîì ïðèáëèæåíèé (2.34) ôîðìóëà (2.31) ïðèìåò âèä:
                                               F0             1                            (2.35)
                                   s 0 (ω) =      Q                       .
                                               k                      2
                                                       ω0 − ω 
                                                               +1
                                                       δ 
         Â ôèçèêå áåçðàçìåðíóþ ôóíêöèþ
                                                          1
                                       L(ω) =                                              (2.36)
                                                                  2
                                                    ω0 − ω 
                                                            +1
                                                    δ 
íàçûâàþò ëîðåíöåâîé, à ãðàôèê ýòîé ôóíêöèè íàçûâàþò ëîðåíöåâûì êîíòóðîì. Øèðè-
íó ∆ω ýòîãî êîíòóðà, îïðåäåëÿþùóþ îñòðîòó ðåçîíàíñà, íàõîäÿò èç óñëîâèÿ óáûâàíèÿ

Страницы