Колебания и волны. Алешкевич В.А - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Êîëåáàíèÿ è âîëíû
30
.sin
0
t
m
F
s ω=
&&
(2.14)
Èíòåãðèðóÿ ýòî óðàâíåíèå äâà ðàçà, íàõîäèì çàêîí äâèæåíèÿ êîëåáëþùåéñÿ
ìàññû:
).sin(sin)(
2
0
2
0
π−ω
ω
=ω
ω
−= t
m
F
t
m
F
ts
(2.15)
Èç (2.15) ñëåäóåò, ÷òî ñìåùåíèå ïî îòíîøåíèþ ê âíåøíåé ñèëå çàïàçäûâàåò ïî
ôàçå íà π (ϕ
0
= π), à àìïëèòóäà, êàê ìû è ïðåäïîëàãàëè, óáûâàåò ñ óâåëè÷åíèåì ÷àñòîòû.
 ñõåìå, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 2.2, â òàêîì ðåæèìå ëåâûé ïîäâèæíûé êîíåö
ïðóæèíû è ìàññà m âñåãäà äâèæóòñÿ â ïðîòèâîïîëîæíûõ íàïðàâëåíèÿõ:
).(sin)(
2
2
0
2
0
tt
m
k
ts ξ
ω
ω
−=ω
ω
ξ
−=
(2.16)
Ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå ñìåùåíèå ìàññû m â
ωω
2
0
2
1/
>>
ðàç ìåíüøå
ñìåùåíèÿ ëåâîãî êîíöà ïðóæèíû, ò.å. ïðàêòè÷åñêè íå áóäåò çàìåòíûì.
Ðåçîíàíñíûé ðåæèì. Åñëè ÷àñòîòà ω≈ω
0
, òî âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ ïðîèñ-
õîäÿò íà ñîáñòâåííîé ÷àñòîòå êîëåáàíèé. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî
.ss 0
2
0
=ω+
&&
(2.17)
Ñëåäîâàòåëüíî, óðàâíåíèå (2.10) ïðè ó÷åòå (2.17) ïðèìåò âèä:
.sin2
0
0
t
m
F
s ω=δ
&
(2.18)
Èíòåãðèðóÿ åãî, ïîëó÷àåì âûðàæåíèå äëÿ ñìåùåíèÿ:
).2sin(
2
)(
0
0
0
π−ω
ωδ
= t
m
F
ts
(2.19)
Ïîñëåäíåå âûðàæåíèå óäîáíî ïåðåïèñàòü â âèäå
),2sin()(
0
0
π−ω= tQ
k
F
ts
(2.20)
ãäå
T
Q
δ
π
=
 äîáðîòíîñòü ìàÿòíèêà. Åñëè äîáðîòíîñòü Q >> 1, òî àìïëèòóäà êîëåáàíèé
ìîæåò âî ìíîãî ðàç ïðåâûøàòü àìïëèòóäó ìåäëåííûõ êâàçèñòàòè÷åñêèõ êîëåáàíèé
(ñðàâíèòå ñ (2.12)). Ïîýòîìó òàêîé ðåæèì íàçûâàåòñÿ ðåçîíàíñíûì.
Âåëèêè òàêæå àìïëèòóäû ñêîðîñòè è óñêîðåíèÿ. Ïîñêîëüêó ñêîðîñòü
s
&
, êàê
ñëåäóåò èç (2.18), èçìåíÿåòñÿ â ôàçå ñ âíåøíåé ñèëîé, òî ñ ýíåðãåòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ
ýòî âåñüìà áëàãîïðèÿòíî äëÿ «ïîäêà÷êè» ýíåðãèè â êîëåáàòåëüíóþ ñèñòåìó. Ðàáîòà
âíåøíåé ñèëû çà ïåðèîä êîëåáàíèé ðàâíà:
A Ftstt
F
m
tt
FT
m
TT
=⋅= =
∫∫
()
&
() sindd
0
0
2
2
0
0
0
2
24δ
ω
δ
(2.21)
è çíà÷èòåëüíî ïðåâîñõîäèò ðàáîòó ýòîé ñèëû â îáîèõ ðàññìîòðåííûõ âûøå ðåæèìàõ.
Òàêàÿ áîëüøàÿ ðàáîòà íåîáõîäèìà äëÿ êîìïåíñàöèè çíà÷èòåëüíûõ ïîòåðü èç-çà ñèëû
âÿçêîãî òðåíèÿ.
30                                                                             Êîëåáàíèÿ è âîëíû
                                       F0
                                               &s& =
                                          sin ωt.                          (2.14)
                                        m
          Èíòåãðèðóÿ ýòî óðàâíåíèå äâà ðàçà, íàõîäèì çàêîí äâèæåíèÿ êîëåáëþùåéñÿ
ìàññû:

                                        F0                     F0
                           s (t ) = −         2
                                                  sin ωt =           sin(ωt − π).          (2.15)
                                        mω                   mω 2

         Èç (2.15) ñëåäóåò, ÷òî ñìåùåíèå ïî îòíîøåíèþ ê âíåøíåé ñèëå çàïàçäûâàåò ïî
ôàçå íà π (ϕ0 = –π), à àìïëèòóäà, êàê ìû è ïðåäïîëàãàëè, óáûâàåò ñ óâåëè÷åíèåì ÷àñòîòû.
         Â ñõåìå, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 2.2, â òàêîì ðåæèìå ëåâûé ïîäâèæíûé êîíåö
ïðóæèíû è ìàññà m âñåãäà äâèæóòñÿ â ïðîòèâîïîëîæíûõ íàïðàâëåíèÿõ:
                                               kξ 0                  ω 02
                                 s (t ) = −    ξ(t ).
                                                    2
                                                        sin ωt = −       (2.16)
                                mω          ω2
          Ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå ñìåùåíèå ìàññû m â ω 2 / ω 20 >> 1 ðàç ìåíüøå
ñìåùåíèÿ ëåâîãî êîíöà ïðóæèíû, ò.å. ïðàêòè÷åñêè íå áóäåò çàìåòíûì.


        Ðåçîíàíñíûé ðåæèì. Åñëè ÷àñòîòà ω ≈ ω0, òî âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ ïðîèñ-
õîäÿò íà ñîáñòâåííîé ÷àñòîòå êîëåáàíèé. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî
                                                  &s& + ω02 s = 0.                         (2.17)
          Ñëåäîâàòåëüíî, óðàâíåíèå (2.10) ïðè ó÷åòå (2.17) ïðèìåò âèä:
                                            F0
                                           2δs& =
                                               sin ω0 t.                                   (2.18)
                                            m
          Èíòåãðèðóÿ åãî, ïîëó÷àåì âûðàæåíèå äëÿ ñìåùåíèÿ:
                                         F0
                              s (t ) =        sin(ω 0 t − π 2).                            (2.19)
                                       2δmω0
          Ïîñëåäíåå âûðàæåíèå óäîáíî ïåðåïèñàòü â âèäå
                                                  F0
                                    s (t ) =         Q sin( ω0 t − π 2),                   (2.20)
                                                  k
        π
ãäå Q =   — äîáðîòíîñòü ìàÿòíèêà. Åñëè äîáðîòíîñòü Q >> 1, òî àìïëèòóäà êîëåáàíèé
       δT
ìîæåò âî ìíîãî ðàç ïðåâûøàòü àìïëèòóäó ìåäëåííûõ êâàçèñòàòè÷åñêèõ êîëåáàíèé
(ñðàâíèòå ñ (2.12)). Ïîýòîìó òàêîé ðåæèì íàçûâàåòñÿ ðåçîíàíñíûì.
        Âåëèêè òàêæå àìïëèòóäû ñêîðîñòè è óñêîðåíèÿ. Ïîñêîëüêó ñêîðîñòü s& , êàê
ñëåäóåò èç (2.18), èçìåíÿåòñÿ â ôàçå ñ âíåøíåé ñèëîé, òî ñ ýíåðãåòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ
ýòî âåñüìà áëàãîïðèÿòíî äëÿ «ïîäêà÷êè» ýíåðãèè â êîëåáàòåëüíóþ ñèñòåìó. Ðàáîòà
âíåøíåé ñèëû çà ïåðèîä êîëåáàíèé ðàâíà:
                             T
                                       F02 T 2            F 2T
                        A = ∫ F ( t ) ⋅ s&( t )dt =
                                           ∫ sin ω 0 tdt = 0            (2.21)
                        0
                                      2δm 0               4δm
è çíà÷èòåëüíî ïðåâîñõîäèò ðàáîòó ýòîé ñèëû â îáîèõ ðàññìîòðåííûõ âûøå ðåæèìàõ.
Òàêàÿ áîëüøàÿ ðàáîòà íåîáõîäèìà äëÿ êîìïåíñàöèè çíà÷èòåëüíûõ ïîòåðü èç-çà ñèëû
âÿçêîãî òðåíèÿ.

Страницы