Колебания и волны. Алешкевич В.А - 30 стр.

Ëåêöèÿ 2                                                                            29
ëåãêî ìîæåò áûòü âèçóàëèçèðîâàíà, ïîñêîëüêó åå âåëè÷èíà è íàïðàâëåíèå îäíîçíà÷íî
îïðåäåëÿåòñÿ ñìåùåíèåì ïîäâèæíîãî ëåâîãî êîíöà ïðóæèíû. Ýòî, â ñâîþ î÷åðåäü, äàåò
âîçìîæíîñòü íàãëÿäíî ïðîäåìîíñòðèðîâàòü ôàçîâûå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ñèëîé F(t) (èëè
ñìåùåíèåì ξ(t)) è ñìåùåíèåì s(t) êîëåáëþùåéñÿ ìàññû.
        Ïåðåïèøåì óðàâíåíèå (2.8) ñëåäóþùèì îáðàçîì:
                                                        F0
                                &s& + 2δs& + ω 02 s =      sin ωt ,              (2.10)
                                                        m
ãäå F 0 = kξ 0.
         Ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ áóäåì èñêàòü â âèäå ãàðìîíè÷åñêîãî êîëåáàíèÿ (2.7), ãäå
àìïëèòóäà s0 è ôàçà ϕ0 ìîãóò áûòü îïðåäåëåíû, åñëè ïîäñòàâèòü (2.7) â (2.10). Ìû ñäåëàåì
ýòî íåñêîëüêî ïîçäíåå, à ïîêà ðàññìîòðèì òðè âàæíûõ ðåæèìà âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé.


         Ìåäëåííûå êîëåáàíèÿ. Åñëè ÷àñòîòà âûíóæäàþùåé ñèëû ω çíà÷èòåëüíî ìåíü-
øå ω0, òî ñêîðîñòü s& è óñêîðåíèå &s& êîëåáëþùåéñÿ ìàññû áóäóò î÷åíü ìàëûìè. Ïîýòîìó
ìîæíî ïðåíåáðå÷ü ïåðâûìè äâóìÿ ÷ëåíàìè â ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (2.10) è çàïèñàòü
åãî â ïðèáëèæåííîì âèäå:
                                                  F0
                                        ω02 s =      sin ωt.                     (2.11)
                                                  m
Åãî ðåøåíèå î÷åâèäíî:
                                         F0               F0
                             s (t ) =          sin ωt =      sin ωt.             (2.12)
                                        mω02              k
        Â ýòîì ðåæèìå ñìåùåíèå ãðóçà ïðîïîðöèîíàëüíî âíåøíåé ñèëå è íå çàâèñèò îò
âåëè÷èíû åãî ìàññû m. Ðåøåíèå (2.12) ÿâëÿåòñÿ, ïî ñóùåñòâó, ìàòåìàòè÷åñêèì âûðàæå-
íèåì çàêîíà Ãóêà äëÿ ñòàòè÷åñêîé äåôîðìàöèè ïðóæèíû. Ïîýòîìó ýòîò ðåæèì ìîæíî
íàçâàòü êâàçèñòàòè÷åñêèì (ïî÷òè ñòàòè÷åñêèì). Àìïëèòóäà êîëåáàíèé â ñîîòâåòñòâèè ñ
ýòèì çàêîíîì ðàâíà s0 = F0/k, à ñìåùåíèå s(t) èçìåíÿåòñÿ â ôàçå ñ âíåøíåé ñèëîé.
        Â ñõåìå, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 2.2, ýòî ýêâèâàëåíòíî òîìó, ÷òî ñìåùåíèå ìàññû m
ïðàêòè÷åñêè ïîâòîðÿåò ñìåùåíèå ëåâîãî êîíöà ïðóæèíû:
                                  F0         kξ
                          s (t ) =   sin ωt = 0 sin ωt = ξ(t ),                 (2.13)
                                  k           k
ïîñêîëüêó F 0 = kξ 0. Ýòî è íå óäèâèòåëüíî, ò.ê. äëÿ äâèæåíèÿ ìàññû m ñ ïðåíåáðåæèìî
ìàëûì óñêîðåíèåì &s& íå òðåáóåòñÿ áîëüøèõ äåôîðìàöèé ïðóæèíû: s (t ) − ξ(t ) ≈ 0.


         Áûñòðûå êîëåáàíèÿ. Åñëè ω >> ω0, òî ïåðèîä âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé T = 2π/ω
ìàë. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìàññà m èñïûòûâàåò äåéñòâèå ëèøü âíåøíåé ñèëû F(t), à ñèëà óïðó-
ãîñòè ks è âÿçêîãî òðåíèÿ Γs& ìàëû. Äåéñòâèòåëüíî, çà ïîëîâèíó êîðîòêîãî ïåðèîäà êîëåáà-
íèé, êîãäà ìàññà äâèæåòñÿ â îäíîì íàïðàâëåíèè, îíà íå óñïåâàåò íàáðàòü êàê çàìåòíóþ
ñêîðîñòü s& , òàê è ñìåñòèòüñÿ íà äîñòàòî÷íóþ âåëè÷èíó s îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Ïîýòî-
ìó â óðàâíåíèè (2.10) ìîæíî îïóñòèòü ÷ëåíû, ñîäåðæàùèå s è s& , è çàïèñàòü åãî â äðóãîì
ïðèáëèæåííîì âèäå: