Колебания и волны. Алешкевич В.А - 29 стр.

28                                                                 Êîëåáàíèÿ è âîëíû

ïðîèñõîäÿùèõ ñ óñòàíîâèâøèìèñÿ àìïëèòóäàìè s0n è ôàçàìè ϕ n íà ÷àñòîòàõ ωn
ñîîòâåòñòâóþùèõ ãàðìîíèê âûíóæäàþùåé ñèëû (2.3). Êàæäîå ñëàãàåìîå â (2.4) ìîæåò
ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê âûíóæäåííîå ãàðìîíè÷åñêîå êîëåáàíèå, ïðîèñõîäÿùåå ïîä
                                                                       2π
äåéñòâèåì âíåøíåé ãàðìîíè÷åñêîé ñèëû ñ àìïëèòóäîé F0n è ÷àñòîòîé ω n =    n.
                                                                       T
        Àìïëèòóäû s0n è ôàçû ϕn òðåáóþò îïðåäåëåíèÿ, è ìû ïåðåéäåì ñåé÷àñ ê èõ
íàõîæäåíèþ.


       Âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ ïîä äåéñòâèåì ãàðìîíè÷åñêîé ñèëû. Ïóñòü
âíåøíÿÿ ñèëà ìåíÿåòñÿ ïî ãàðìîíè÷åñêîìó çàêîíó
                                      F (t ) = F0 sin ωt.                        (2.5)
        Óðàâíåíèå (2.2) â ýòîì ñëó÷àå ïðèíèìàåò âèä:
                               m&s& = −Γs& − ks + F0 sin ωt.                     (2.6)
       Ïîä äåéñòâèåì ýòîé ñèëû ìàÿòíèê â óñòàíîâèâøåìñÿ ðåæèìå áóäåò ñîâåðøàòü
ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ
                                   s (t ) = s0 sin( ωt + ϕ 0 ).                  (2.7)
        Êàê ïîêàçûâàåò îïûò, àìïëèòóäà s0 è íà÷àëüíàÿ ôàçà ϕ0 (ò.å. ñäâèã ôàçû ìåæäó
ñìåùåíèåì s è ñèëîé F) óñòàíîâèâøèõñÿ êîëåáàíèé çàâèñÿò íå òîëüêî îò àìïëèòóäû
ñèëû F0 (÷òî î÷åâèäíî èç óðàâíåíèÿ (2.6)), íî è îò òîãî, íàñêîëüêî ÷àñòîòà âûíóæäàþùåé
ñèëû ω îòëè÷àåòñÿ îò ñîáñòâåííîé ÷àñòîòû êîëåáàíèé ìàÿòíèêà ω0 = k / m. Íàèáîëåå
ñèëüíî ìàÿòíèê áóäåò ðàñêà÷èâàòüñÿ, êîãäà ýòè ÷àñòîòû ïðàêòè÷åñêè ñîâïàäàþò: ω ≈ ω0.
                                           Ïðåæäå ÷åì ïðèñòóïèòü ê íàõîæäåíèþ s0 è ϕ0,
                        F(t)
                                 çàìåòèì, ÷òî äëÿ ìåõàíè÷åñêèõ êîëåáàòåëüíûõ ñèñòåì
                                 íå òàê ïðîñòî ñ òåõíè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ îñóùåñòâèòü
  0       x 0                 s âîçäåéñòâèå ãàðìîíè÷åñêîé ñèëû íåïîñðåäñòâåííî íà
            Ðèñ. 2.2.
                                 äâèæóùóþñÿ ìàññó. Ãîðàçäî ïðîùå ýòî ñäåëàòü äëÿ
ýëåêòðè÷åñêèõ è îïòè÷åñêèõ êîëåáàòåëüíûõ ñèñòåì, íàïðèìåð, äëÿ êîëåáàòåëüíîãî êîí-
òóðà, ïîäêëþ÷åííîãî ê âíåøíåìó èñòî÷íèêó ïåðåìåííîãî íàïðÿæåíèÿ. Ëåãêî, îäíàêî,
âèäåòü, ÷òî ìîæíî ïîääåðæèâàòü âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ ìàÿòíèêà, èçîáðàæåííîãî íà
ðèñ. 2.1, èíûì ñïîñîáîì, íå ïðèêëàäûâàÿ íåïîñðåäñòâåííî âíåøíþþ ñèëó F(t) ê ìàññå m.
Äîñòàòî÷íî ëèøü ýòó ñèëó ïðèëîæèòü ê ëåâîìó êîíöó ñâîáîäíîé ïðóæèíû òàê, ÷òîáû
ýòîò êîíåö äâèãàëñÿ ïî ãàðìîíè÷åñêîìó çàêîíó ξ(t) = ξ0sinωt (ðèñ. 2.2). Òîãäà óäëèíåíèå
ïðóæèíû ñîñòàâèò âåëè÷èíó s – ξ, à ñèëà óïðóãîñòè, ïðèëîæåííàÿ ê ìàññå m, áóäåò ðàâíà
–k(s – ξ). Ïîýòîìó óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ìàññû m çàïèøåòñÿ â âèäå:
                                  m&s& = −Γs& − k ( s − ξ).                       (2.8)
       Åñëè ïðèíÿòü âî âíèìàíèå, ÷òî ñèëà óïðóãîñòè ïðóæèíû â îòñóòñòâèå ñìå-
ùåíèÿ ãðóçà (s = 0) ðàâíà
                                 F (t ) = kξ(t ) = kξ 0 sin ωt ,                 (2.9)
òî óðàâíåíèå (2.8) ïîëíîñòüþ ýêâèâàëåíòíî óðàâíåíèþ (2.6). Ñèëà (2.9) âûïîëíÿåò ðîëü
âíåøíåé ãàðìîíè÷åñêîé ñèëû â êëàññè÷åñêîé ñõåìå, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 2.1. Ýòà ñèëà