Колебания и волны. Алешкевич В.А - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

27
ËÅÊÖÈß 2
Âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ ïîä äåéñòâèåì ãàðìîíè÷åñêîé ñèëû. Ðåæèìû ìåäëåí-
íûõ, áûñòðûõ è ðåçîíàíñíûõ êîëåáàíèé. Àìïëèòóäíî-÷àñòîòíûå è ôàçî-÷àñòîòíûå õà-
ðàêòåðèñòèêè. Áàëëèñòè÷åñêèé ðåæèì êîëåáàíèé. Óñòàíîâëåíèå êîëåáàíèé. Õàðàêòåðè-
ñòèêè ðàçëè÷íûõ êîëåáàòåëüíûõ ñèñòåì. Ïàðàìåòðè÷åñêèå êîëåáàíèÿ. Àâòîêîëåáàíèÿ.
 ïðåäûäóùåé ëåêöèè ìû ðàññìîòðåëè ñâîáîäíûå çàòóõàþùèå êîëåáàíèÿ, âîç-
íèêàþùèå ïðè íà÷àëüíîì êðàòêîâðåìåííîì âîçäåéñòâèè âíåøíèõ ñèë íà êîëåáàòåëü-
íóþ ñèñòåìó. Ìåæäó òåì, â ïîâñåäíåâíîé ïðàêòèêå ìû ñòàëêèâàåìñÿ ñ íåçàòóõàþùèìè
êîëåáàíèÿìè, äëÿ ïîääåðæàíèÿ êîòîðûõ íåîáõîäèìî ïîäâîäèòü ýíåðãèþ ê êîëåáàòåëü-
íîé ñèñòåìå, ÷òîáû êîìïåíñèðîâàòü åå ýíåðãåòè÷åñêèå ïîòåðè.
Îäíèì èç ðàñïðîñòðàíåííûõ ñïîñîáîâ ïîääåðæàíèÿ íåçàòóõàþùèõ êîëåáàíèé
ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîå âîçäåéñòâèå íà êîëåáëþùóþñÿ ìàññó ïåðèîäè÷åñêîé ñèëû
(âûíóæäàþùåé ñèëû)
),()( TtFtF +=
(2.1)
ìåíÿþùåéñÿ âî âðåìåíè t, âîîáùå ãîâîðÿ, ïðîèçâîëüíî â ïðåäåëàõ ïåðèîäà äëèòåëüíîñ-
òüþ T. Åñëè, íàïðèìåð, òàêóþ ñèëó ïðèëîæèòü ê êîëåáëþùåéñÿ ìàññå îïèñàííîãî âûøå
ïðóæèííîãî ìàÿòíèêà (ðèñ. 2.1), òî óðàâíåíèå åå äâèæåíèÿ ïðèìåò âèä:
).(tFksssm +−Γ−=
&&&
(2.2)
Îïûò ïîêàçûâàåò, ÷òî åñëè ñèëà âíåçàïíî íà÷èíàåò äåéñòâîâàòü (íàïðèìåð, â ìî-
ìåíò âðåìåíè t = 0), òî ìàÿòíèê íà÷íåò ïîñòåïåííî ðàñêà÷èâàòüñÿ, è ñïóñòÿ êàêîå-òî âðåìÿ
åãî êîëåáàíèÿ óñòàíîâÿòñÿ. Ïî ïîðÿäêó âåëè÷èíû âðåìÿ óñòàíîâëåíèÿ òàêèõ âûíóæäåí-
íûõ êîëåáàíèé áóäåò ñîâïàäàòü ñ âðåìåíåì çàòóõàíèÿ τ = δ
1
=2m/Γ. Äàëåå ìû ñêîíöåíò-
ðèðóåì âíèìàíèå èìåííî íà óñòàíîâèâøèõñÿ êîëåáà-
íèÿõ. Åñòåñòâåííî, ÷òî ïàðàìåòðû òàêèõ êîëåáàíèé áó-
äóò çàâèñåòü îò êîíêðåòíîãî âèäà ñèëû F(t). Èç ìàòåìà-
òèêè õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî ëþáóþ ïåðèîäè÷åñêóþ ôóí-
êöèþ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ðÿäà Ôóðüå:
.
2
sin)(
0
0
∑
∞
=
ψ+
π
=
n
nn
nt
T
FtF
(2.3)
Ôèçè÷åñêèé ñìûñë ýòîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ñîñòîèò â òîì, ÷òî ïåðèîäè÷åñêîå âîç-
äåéñòâèå F(t) ýêâèâàëåíòíî îäíîâðåìåííîìó âîçäåéñòâèþ ïîñòîÿííîé ñèëû F
00
è íàáî-
ðà ãàðìîíè÷åñêèõ ñèë ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè àìïëèòóäàìè F
0n
, íà÷àëüíûìè ôàçàìè ψ
n
è
÷àñòîòàìè
,nn
T
n
ω=
π
=ω
2
êðàòíûìè íèçøåé (îñíîâíîé) ÷àñòîòå
T
π
=ω
2
.
×òîáû ïîëó÷èòü ïîëíóþ êàðòèíó âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé ïîä äåéñòâèåì ñèëû
(2.3), íåîáõîäèìî ïðèíÿòü âî âíèìàíèå ëèíåéíîñòü óðàâíåíèÿ (2.2). Ýòî ïîçâîëÿåò
ïðåäñòàâèòü åãî ðåøåíèå s(t) êàê ñóììó ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé:
∑
∞
=
ϕ+
π
=
0
0
2
sin)(
n
nn
nt
T
sts
, (2.4)
s
0
F()t
Ðèñ. 2.1.
                                                                                    27

                                    ËÅÊÖÈß 2
        Âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ ïîä äåéñòâèåì ãàðìîíè÷åñêîé ñèëû. Ðåæèìû ìåäëåí-
íûõ, áûñòðûõ è ðåçîíàíñíûõ êîëåáàíèé. Àìïëèòóäíî-÷àñòîòíûå è ôàçî-÷àñòîòíûå õà-
ðàêòåðèñòèêè. Áàëëèñòè÷åñêèé ðåæèì êîëåáàíèé. Óñòàíîâëåíèå êîëåáàíèé. Õàðàêòåðè-
ñòèêè ðàçëè÷íûõ êîëåáàòåëüíûõ ñèñòåì. Ïàðàìåòðè÷åñêèå êîëåáàíèÿ. Àâòîêîëåáàíèÿ.


        Â ïðåäûäóùåé ëåêöèè ìû ðàññìîòðåëè ñâîáîäíûå çàòóõàþùèå êîëåáàíèÿ, âîç-
íèêàþùèå ïðè íà÷àëüíîì êðàòêîâðåìåííîì âîçäåéñòâèè âíåøíèõ ñèë íà êîëåáàòåëü-
íóþ ñèñòåìó. Ìåæäó òåì, â ïîâñåäíåâíîé ïðàêòèêå ìû ñòàëêèâàåìñÿ ñ íåçàòóõàþùèìè
êîëåáàíèÿìè, äëÿ ïîääåðæàíèÿ êîòîðûõ íåîáõîäèìî ïîäâîäèòü ýíåðãèþ ê êîëåáàòåëü-
íîé ñèñòåìå, ÷òîáû êîìïåíñèðîâàòü åå ýíåðãåòè÷åñêèå ïîòåðè.
        Îäíèì èç ðàñïðîñòðàíåííûõ ñïîñîáîâ ïîääåðæàíèÿ íåçàòóõàþùèõ êîëåáàíèé
ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîå âîçäåéñòâèå íà êîëåáëþùóþñÿ ìàññó ïåðèîäè÷åñêîé ñèëû
(âûíóæäàþùåé ñèëû)
                                    F (t ) = F (t + T ),                          (2.1)
ìåíÿþùåéñÿ âî âðåìåíè t, âîîáùå ãîâîðÿ, ïðîèçâîëüíî â ïðåäåëàõ ïåðèîäà äëèòåëüíîñ-
òüþ T. Åñëè, íàïðèìåð, òàêóþ ñèëó ïðèëîæèòü ê êîëåáëþùåéñÿ ìàññå îïèñàííîãî âûøå
ïðóæèííîãî ìàÿòíèêà (ðèñ. 2.1), òî óðàâíåíèå åå äâèæåíèÿ ïðèìåò âèä:
                                 m&s& = −Γs& − ks + F (t ).                       (2.2)
        Îïûò ïîêàçûâàåò, ÷òî åñëè ñèëà âíåçàïíî íà÷èíàåò äåéñòâîâàòü (íàïðèìåð, â ìî-
ìåíò âðåìåíè t = 0), òî ìàÿòíèê íà÷íåò ïîñòåïåííî ðàñêà÷èâàòüñÿ, è ñïóñòÿ êàêîå-òî âðåìÿ
åãî êîëåáàíèÿ óñòàíîâÿòñÿ. Ïî ïîðÿäêó âåëè÷èíû âðåìÿ óñòàíîâëåíèÿ òàêèõ âûíóæäåí-
íûõ êîëåáàíèé áóäåò ñîâïàäàòü ñ âðåìåíåì çàòóõàíèÿ τ = δ–1 = 2m/Γ. Äàëåå ìû ñêîíöåíò-
ðèðóåì âíèìàíèå èìåííî íà óñòàíîâèâøèõñÿ êîëåáà-
íèÿõ. Åñòåñòâåííî, ÷òî ïàðàìåòðû òàêèõ êîëåáàíèé áó-                            F(t)
äóò çàâèñåòü îò êîíêðåòíîãî âèäà ñèëû F(t). Èç ìàòåìà-
òèêè õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî ëþáóþ ïåðèîäè÷åñêóþ ôóí-                     0             s
êöèþ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ðÿäà Ôóðüå:                             Ðèñ. 2.1.
                                          ∞
                                                      2π          
                              F (t ) = ∑ F0 n sin nt + ψ n .                   (2.3)
                                        n =0          T           
         Ôèçè÷åñêèé ñìûñë ýòîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ñîñòîèò â òîì, ÷òî ïåðèîäè÷åñêîå âîç-
äåéñòâèå F(t) ýêâèâàëåíòíî îäíîâðåìåííîìó âîçäåéñòâèþ ïîñòîÿííîé ñèëû F00 è íàáî-
ðà ãàðìîíè÷åñêèõ ñèë ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè àìïëèòóäàìè F0n, íà÷àëüíûìè ôàçàìè ψn è
                 2π                                                     2π
÷àñòîòàìè ωn =      n = ωn , êðàòíûìè íèçøåé (îñíîâíîé) ÷àñòîòå ω =         .
                  T                                                      T
         ×òîáû ïîëó÷èòü ïîëíóþ êàðòèíó âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé ïîä äåéñòâèåì ñèëû
(2.3), íåîáõîäèìî ïðèíÿòü âî âíèìàíèå ëèíåéíîñòü óðàâíåíèÿ (2.2). Ýòî ïîçâîëÿåò
ïðåäñòàâèòü åãî ðåøåíèå s(t) êàê ñóììó ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé:
                                         ∞
                                                     2π          
                               s (t ) = ∑ s 0 n sin     nt + ϕ n  ,            (2.4)
                                        n =0          T          

Страницы