Колебания и волны. Алешкевич В.А - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

25
Ëåêöèÿ 1
ùàÿ äåéñòâèå ñèë ñóõîãî òðåíèÿ â îñè âðàùåíèÿ. Õîòÿ ñèëà F
òð
ñóõîãî òðåíèÿ è íå ìåíÿ-
åòñÿ ïî âåëè÷èíå, òåì íå ìåíåå îíà ìåíÿåò ñâîå íàïðàâëåíèå ïðè èçìåíåíèè íàïðàâëå-
íèÿ ñêîðîñòè. Â ñèëó ýòîãî íåîáõîäèìî çàïèñàòü äâà óðàâíåíèÿ
&&
ss
F
m
+=−ω
0
2
òð
äëÿ
0>s
&
; (1.70)
&&
ss
F
m
+=+ω
0
2
òð
äëÿ
&
s < 0
. (1.71)
Åñëè â (1.70) èñïîëüçîâàòü ïåðåìåííóþ
ss
F
m
1
=+
òð
0
2
ω
, à â (1.71) 
ss
F
m
2
=−
òð
0
2
ω
, òî îáà
óðàâíåíèÿ ïðèìóò îäèíàêîâûé âèä:
0
21
2
021
=ω+
,,
ss
&&
. (1.72)
Ôàçîâûå òðàåêòîðèè, ñîîòâåòñòâóþùèå ýòîìó óðàâíåíèþ, ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé
ýëëèïñû ñ öåíòðàìè, èìåþùèìè êîîðäèíàòû
s
F
m
−
=−
òð
0
2
ω
(s
1
= 0) äëÿ âåðõíåé ïîëóïëîñ-
êîñòè
0>s
&
, è
s
F
m
+
=+
òð
0
2
ω
(
0
2
=s
) äëÿ íèæíåé ïîëóïëîñêîñòè
0<s
&
. ×òîáû íàðèñî-
âàòü ôàçîâûé ïîðòðåò, íåîáõîäèìî ñîìêíóòü ôàçîâûå òðàåêòîðèè âåðõíåé è íèæíåé ïî-
ëóïëîñêîñòåé íà èõ îáùåé ãðàíèöå
.s 0=
&
Èç ïîñòðîåííîãî íà ðèñ. 1.19 ôà-
çîâîãî ïîðòðåòà âèäíî, ÷òî äâèæåíèå ïðå-
êðàùàåòñÿ ïîñëå êîíå÷íîãî ÷èñëà êîëå-
áàíèé. ×ðåçâû÷àéíî âàæíî, ÷òî ñèñòåìà
íå îáÿçàòåëüíî ïðèäåò ê ñîñòîÿíèþ s = 0,
à ìîæåò îñòàíîâèòüñÿ, ïîïàâ â çîíó çàñ-
òîÿ
−+
−
ss
. Çîíà çàñòîÿ òåì áîëüøå, ÷åì
áîëüøå ñèëà F
òð
. Èç ôàçîâîãî ïîðòðåòà
ëåãêî îïðåäåëèòü óáûâàíèå àìïëèòóäû
êîëåáàíèé çà îäèí ïåðèîä. Ýòî èçìåíå-
íèå àìïëèòóäû â äâà ðàçà ïðåâûøàåò ïðî-
òÿæåííîñòü çîíû çàñòîÿ:
∆AAt AtT s s
F
m
=−+=−=
+−
() ( ) ( )2
4
òð
0
2
ω
. (1.73)
Òàêèì îáðàçîì, â îòëè÷èå îò ýêñïîíåíöèàëüíîãî çàêîíà (1.56), õàðàêòåðíîãî äëÿ âÿçêîãî
òðåíèÿ, àìïëèòóäà êîëåáàíèé óáûâàåò ñî âðåìåíåì ëèíåéíî.
Íà ðèñ. 1.20 ïîêàçàíà çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè ñìåùåíèÿ êîëåáëþùåãîñÿ òåëà
ïðè ñóõîì òðåíèè. ×èñëî ñîâåðøàåìûõ ñèñòåìîé êîëåáàíèé äî èõ ïðåêðàùåíèÿ çàâèñèò
îò íà÷àëüíîé àìïëèòóäû A
0
, è åãî ìîæíî îöåíèòü ïî ôîðìóëå:
N
A
A
A
ss
==
−
+−
00
2
∆
()
. (1.74)
Ðèñ. 1.19.
/w
s
0
s
At()
At T(+ )
s
s
+
Ëåêöèÿ 1                                                                                    25
ùàÿ äåéñòâèå ñèë ñóõîãî òðåíèÿ â îñè âðàùåíèÿ. Õîòÿ ñèëà Fòð ñóõîãî òðåíèÿ è íå ìåíÿ-
åòñÿ ïî âåëè÷èíå, òåì íå ìåíåå îíà ìåíÿåò ñâîå íàïðàâëåíèå ïðè èçìåíåíèè íàïðàâëå-
íèÿ ñêîðîñòè. Â ñèëó ýòîãî íåîáõîäèìî çàïèñàòü äâà óðàâíåíèÿ
                                               Fòð
                              &&s + ω 20 s = −     äëÿ s& > 0 ;                           (1.70)
                                                m
                                               Fòð
                              &&s + ω 20 s = +     äëÿ s& < 0.                            (1.71)
                                                m
                                                     Fòð                           Fòð
Åñëè â (1.70) èñïîëüçîâàòü ïåðåìåííóþ s1 = s +             , à â (1.71) — s2 = s −       , òî îáà
                                                    mω 02
                                                                                   mω 20
óðàâíåíèÿ ïðèìóò îäèíàêîâûé âèä:

                                        &s&1,2 + ω02 s1,2 = 0 .                          (1.72)

         Ôàçîâûå òðàåêòîðèè, ñîîòâåòñòâóþùèå ýòîìó óðàâíåíèþ, ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé
                                                       Fòð
ýëëèïñû ñ öåíòðàìè, èìåþùèìè êîîðäèíàòû s− = −              (s1 = 0) äëÿ âåðõíåé ïîëóïëîñ-
                                                      mω 20
                        Fòð
êîñòè s& > 0 , è s+ = +       ( s 2 = 0 ) äëÿ íèæíåé ïîëóïëîñêîñòè s& < 0 . ×òîáû íàðèñî-
                        mω 20
âàòü ôàçîâûé ïîðòðåò, íåîáõîäèìî ñîìêíóòü ôàçîâûå òðàåêòîðèè âåðõíåé è íèæíåé ïî-
ëóïëîñêîñòåé íà èõ îáùåé ãðàíèöå s& = 0.
        Èç ïîñòðîåííîãî íà ðèñ. 1.19 ôà-                                  s/w0
çîâîãî ïîðòðåòà âèäíî, ÷òî äâèæåíèå ïðå-
êðàùàåòñÿ ïîñëå êîíå÷íîãî ÷èñëà êîëå-
áàíèé. ×ðåçâû÷àéíî âàæíî, ÷òî ñèñòåìà
íå îáÿçàòåëüíî ïðèäåò ê ñîñòîÿíèþ s = 0,
à ìîæåò îñòàíîâèòüñÿ, ïîïàâ â çîíó çàñ-
òîÿ s + − s − . Çîíà çàñòîÿ òåì áîëüøå, ÷åì                                                    s
                                                        A(t)      A(t + T) s –    s+
áîëüøå ñèëà Fòð. Èç ôàçîâîãî ïîðòðåòà
ëåãêî îïðåäåëèòü óáûâàíèå àìïëèòóäû
êîëåáàíèé çà îäèí ïåðèîä. Ýòî èçìåíå-
íèå àìïëèòóäû â äâà ðàçà ïðåâûøàåò ïðî-
òÿæåííîñòü çîíû çàñòîÿ:                                                   Ðèñ. 1.19.
                                                                      4 Fòð
                          ∆A = A(t ) − A(t + T ) = 2( s+ − s− ) =
                                                              .                (1.73)
                                                       mω 20
Òàêèì îáðàçîì, â îòëè÷èå îò ýêñïîíåíöèàëüíîãî çàêîíà (1.56), õàðàêòåðíîãî äëÿ âÿçêîãî
òðåíèÿ, àìïëèòóäà êîëåáàíèé óáûâàåò ñî âðåìåíåì ëèíåéíî.
        Íà ðèñ. 1.20 ïîêàçàíà çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè ñìåùåíèÿ êîëåáëþùåãîñÿ òåëà
ïðè ñóõîì òðåíèè. ×èñëî ñîâåðøàåìûõ ñèñòåìîé êîëåáàíèé äî èõ ïðåêðàùåíèÿ çàâèñèò
îò íà÷àëüíîé àìïëèòóäû A0, è åãî ìîæíî îöåíèòü ïî ôîðìóëå:
                                          A0        A0
                                     N=      =               .                           (1.74)
                                          ∆ A 2 ( s+ − s − )

Страницы