Колебания и волны. Алешкевич В.А - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

23
Ëåêöèÿ 1
Ïðè ýêñïîíåíöèàëüíîì çàêîíå óáûâàíèÿ ýíåðãèè ñî âðåìåíåì äîáðîòíîñòü Q îêàçûâà-
åòñÿ ïîñòîÿííîé âåëè÷èíîé, êîòîðóþ, êàê è ëîãàðèôìè÷åñêèé äåêðåìåíò çàòóõàíèÿ
θ
,
ìîæíî ëåãêî îöåíèòü ïî ÷èñëó êîëåáàíèé N
Q
= πN ≈ 3N, ñîâåðøåííûõ ñèñòåìîé äî èõ
ïîëíîãî ïðåêðàùåíèÿ (çà âðåìÿ 3τ àìïëèòóäà êîëåáàíèé óìåíüøàåòñÿ â e
3
≈ 20 ðàç, òî
åñòü êîëåáàíèÿ ïðàêòè÷åñêè ïîëíîñòüþ çàòóõàþò).
Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî äîáðîòíîñòü íå òîëüêî õàðàêòåðèçóåò çàòóõàíèå êîëåáà-
íèé, íî è ÿâëÿåòñÿ âàæíîé âåëè÷èíîé, îïðåäåëÿþùåé ïàðàìåòðû âûíóæäåííûõ êîëåáà-
íèé, îñóùåñòâëÿåìûõ ïîä äåéñòâèåì âíåøíåé ïåðèîäè÷åñêîé ñèëû (ñì. äàëåå).
Ðàññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé δ = ω
0
, êîãäà êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ
êðàòíûå: λ
1
= λ
2
=δ. Ïðè ýòîì ÷àñòîòà
0
22
0
=δ−ω=ω
, òî åñòü êîëåáàíèÿ îòñóòñòâó-
þò. Îáùåå ðåøåíèå, êàê íåòðóäíî ïðîâåðèòü ïîäñòàíîâêîé, èìååò ñëåäóþùèé âèä:
st s Cte
t
() ( )=+
−
0
δ
, (1.69)
ãäå íåçàâèñèìûå ïîñòîÿííûå s
0
è C îïðåäåëÿþòñÿ, êàê è ðàíüøå, íà÷àëüíûìè óñëî-
âèÿìè. Âîçìîæíûé âèä çàâèñèìîñòè s(t) ïðè ðàçíûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ èçîáðà-
æåí íà ðèñóíêå 1.16.
Èõ õàðàêòåðíîé îñîáåííîñòüþ ÿâëÿåòñÿ
òî, ÷òî îíè ïåðåñåêàþò îñü Ot íå áîëåå îäíîãî
ðàçà, è âîçâðàò ê ðàâíîâåñíîìó ñîñòîÿíèþ ó ñèñ-
òåìû, âûâåäåííîé èç íåãî, ïðîèñõîäèò çà âðåìÿ
ïîðÿäêà íåñêîëüêèõ τ. Òàêîé ðåæèì äâèæåíèÿ íà-
çûâàåòñÿ êðèòè÷åñêèì.
Íàêîíåö, åñëè δ>ω
0
, òî îáùåå ðåøåíèå
(1.52) ÿâëÿåòñÿ ñóììîé äâóõ óáûâàþùèõ ñ òå÷åíèåì âðåìåíè ýêñïîíåíò, ïîñêîëüêó
0
2
0
2
<ω−δ±δ−
. Âîçìîæíûé âèä çàâèñèìîñòåé s(t) ïîõîæ íà òî, ÷òî èçîáðàæåíî íà
ðèñ. 1.16, íî âîçâðàò ê ðàâíîâåñèþ îñóùåñòâëÿåòñÿ ìåäëåííåå, ÷åì â êðèòè÷åñêîì ðåæè-
ìå, ïîñêîëüêó âÿçêîå òðåíèå áîëüøå. Äàííûé ðåæèì äâèæåíèÿ íàçûâàåòñÿ àïåðèîäè÷åñ-
êèì, èëè çàêðèòè÷åñêèì.
Ðèñ. 1.15.
t
E
0
E
Et()
DE
T
ttT
+
0
Ðèñ. 1.16.
s
t
0
Ëåêöèÿ 1                                                                            23
                       E
                       E0

                  E(t)
                 DET



                         0         t         t+T                      t
                                           Ðèñ. 1.15.


Ïðè ýêñïîíåíöèàëüíîì çàêîíå óáûâàíèÿ ýíåðãèè ñî âðåìåíåì äîáðîòíîñòü Q îêàçûâà-
åòñÿ ïîñòîÿííîé âåëè÷èíîé, êîòîðóþ, êàê è ëîãàðèôìè÷åñêèé äåêðåìåíò çàòóõàíèÿ θ ,
ìîæíî ëåãêî îöåíèòü ïî ÷èñëó êîëåáàíèé NQ = πN ≈ 3N, ñîâåðøåííûõ ñèñòåìîé äî èõ
ïîëíîãî ïðåêðàùåíèÿ (çà âðåìÿ 3τ àìïëèòóäà êîëåáàíèé óìåíüøàåòñÿ â e3 ≈ 20 ðàç, òî
åñòü êîëåáàíèÿ ïðàêòè÷åñêè ïîëíîñòüþ çàòóõàþò).
        Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî äîáðîòíîñòü íå òîëüêî õàðàêòåðèçóåò çàòóõàíèå êîëåáà-
íèé, íî è ÿâëÿåòñÿ âàæíîé âåëè÷èíîé, îïðåäåëÿþùåé ïàðàìåòðû âûíóæäåííûõ êîëåáà-
íèé, îñóùåñòâëÿåìûõ ïîä äåéñòâèåì âíåøíåé ïåðèîäè÷åñêîé ñèëû (ñì. äàëåå).
        Ðàññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé δ = ω0, êîãäà êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ
êðàòíûå: λ1 = λ2 = –δ. Ïðè ýòîì ÷àñòîòà ω = ω02 − δ 2 = 0 , òî åñòü êîëåáàíèÿ îòñóòñòâó-
þò. Îáùåå ðåøåíèå, êàê íåòðóäíî ïðîâåðèòü ïîäñòàíîâêîé, èìååò ñëåäóþùèé âèä:
                                  s(t ) = ( s0 + Ct )e − δt ,                    (1.69)
ãäå íåçàâèñèìûå ïîñòîÿííûå s0 è C îïðåäåëÿþòñÿ, êàê è ðàíüøå, íà÷àëüíûìè óñëî-
âèÿìè. Âîçìîæíûé âèä çàâèñèìîñòè s(t) ïðè ðàçíûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ èçîáðà-
æåí íà ðèñóíêå 1.16.                                            s
        Èõ õàðàêòåðíîé îñîáåííîñòüþ ÿâëÿåòñÿ
òî, ÷òî îíè ïåðåñåêàþò îñü Ot íå áîëåå îäíîãî
ðàçà, è âîçâðàò ê ðàâíîâåñíîìó ñîñòîÿíèþ ó ñèñ- 0                                     t
òåìû, âûâåäåííîé èç íåãî, ïðîèñõîäèò çà âðåìÿ
ïîðÿäêà íåñêîëüêèõ τ. Òàêîé ðåæèì äâèæåíèÿ íà-
çûâàåòñÿ êðèòè÷åñêèì.                                               Ðèñ. 1.16.
        Íàêîíåö, åñëè δ > ω0, òî îáùåå ðåøåíèå
(1.52) ÿâëÿåòñÿ ñóììîé äâóõ óáûâàþùèõ ñ òå÷åíèåì âðåìåíè ýêñïîíåíò, ïîñêîëüêó
− δ ± δ 2 − ω02 < 0 . Âîçìîæíûé âèä çàâèñèìîñòåé s(t) ïîõîæ íà òî, ÷òî èçîáðàæåíî íà
ðèñ. 1.16, íî âîçâðàò ê ðàâíîâåñèþ îñóùåñòâëÿåòñÿ ìåäëåííåå, ÷åì â êðèòè÷åñêîì ðåæè-
ìå, ïîñêîëüêó âÿçêîå òðåíèå áîëüøå. Äàííûé ðåæèì äâèæåíèÿ íàçûâàåòñÿ àïåðèîäè÷åñ-
êèì, èëè çàêðèòè÷åñêèì.

Страницы