Колебания и волны. Алешкевич В.А - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

21
Ëåêöèÿ 1
à ñàìî óðàâíåíèå (1.48)  äâà íåçàâèñèìûõ ðåøåíèÿ: s
1
(t)=s
01
e
t
λ
1
è s
2
(t)=s
02
e
t
λ
2
. Â
ñèëó ëèíåéíîñòè óðàâíåíèÿ (1.48) ñóììà ëþáûõ åãî ðåøåíèé òàêæå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì,
òî åñòü ñïðàâåäëèâ òàê íàçûâàåìûé «ïðèíöèï ñóïåðïîçèöèè» ðåøåíèé, è îáùèì ðåøå-
íèåì äàííîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿåòñÿ
()()
st s e s e
tt
()
=+
−+ − −− −
01 02
2
0
22
0
2
δδω δδω
. (1.52)
Ðåøåíèå ñîäåðæèò äâå íåçàâèñèìûå êîíñòàíòû s
01
è s
02
, êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ èç íà-
÷àëüíûõ óñëîâèé s(0), v (0).
 çàâèñèìîñòè îò ñîîòíîøåíèÿ δ è ω
0
âîçìîæíû òðè ñëó÷àÿ.
Åñëè δ < ω
0
, òî
22
0
2
0
2
δ−ω=ω−δ i
, ãäå
1−≡i
 «ìíèìàÿ» åäèíèöà. Ðåøå-
íèå ÿâëÿåòñÿ êîìïëåêñíûì
1)
, íî, ïîñêîëüêó íà÷àëüíûå óñëîâèÿ äåéñòâèòåëüíûå, òî ñ
ïîìîùüþ ôîðìóëû Ýéëåðà:
ei
i
ϕ
ϕϕ=+
cos sin
(1.53)
íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî îáùåå ðåøåíèå áóäåò äåéñòâèòåëüíî è ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå:
st se t
t
() sin( )=+
−
00
δ
ωϕ
, (1.54)
òî åñòü ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé çàòóõàþùèå êîëåáàíèÿ, ÷àñòîòà êîòîðûõ
ω
ìåíüøå, ÷åì ó
ñîáñòâåííûõ íåçàòóõàþùèõ êîëåáàíèé:
22
0
δ−ω=ω
. (1.55)
Êîëåáàíèÿ, îïèñûâàåìûå (1.54), íå ÿâëÿþòñÿ ãàðìîíè÷åñêèìè (ðèñ. 1.14). Ïîä
èõ àìïëèòóäîé áóäåì ïîíèìàòü âåëè÷èíó
t
es)t(A
δ−
=
0
, (1.56)
êîòîðàÿ ìîíîòîííî óáûâàåò ñî âðåìåíåì. «Äëèòåëüíîñòü» êîëåáàíèé õàðàêòåðèçóåòñÿ
âðåìåíåì çàòóõàíèÿ
δ
=τ
1
. (1.57)
Åñëè ïîäñòàâèòü τ â (1.56), òî ëåãêî
âèäåòü, ÷òî ïî èñòå÷åíèè âðåìåíè çàòóõà-
íèÿ τ àìïëèòóäà óáûâàåò â å ðàç. Êîëè÷å-
ñòâî ñîâåðøåííûõ ñèñòåìîé êîëåáàíèé çà
âðåìÿ τ ðàâíî îòíîøåíèþ ýòîãî âðåìåíè ê
ïåðèîäó çàòóõàþùèõ êîëåáàíèé T =2π/ω.
Åñëè çàòóõàíèå â ñèñòåìå ìàëî (δ << ω
0
), òî
ïåðèîä êîëåáàíèé T ≈ 2π/ ω
0
, è ÷èñëî ýòèõ
êîëåáàíèé âåëèêî:
1
2
0
>>
πδ
ω
≈
τ
=
T
N
. (1.58)
1)
Áîëåå ïîäðîáíî ìåòîä êîìïëåêñíûõ àìïëèòóä áóäåò îáñóæäàòüñÿ íèæå, ïðè ðàññìîòðåíèè âû-
íóæäåííûõ êîëåáàíèé.
Ðèñ. 1.14.
s
t
0
At()
Ëåêöèÿ 1                                                                                                 21

à ñàìî óðàâíåíèå (1.48) – äâà íåçàâèñèìûõ ðåøåíèÿ: s1(t) = s01 e λ1t è s2(t) = s02 e λ 2t. Â
ñèëó ëèíåéíîñòè óðàâíåíèÿ (1.48) ñóììà ëþáûõ åãî ðåøåíèé òàêæå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì,
òî åñòü ñïðàâåäëèâ òàê íàçûâàåìûé «ïðèíöèï ñóïåðïîçèöèè» ðåøåíèé, è îáùèì ðåøå-
íèåì äàííîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿåòñÿ

                          s(t ) = s01e
                                         ( −δ +            )
                                                  δ 2 − ω 20 t
                                                                 + s02 e
                                                                           ( −δ −            )
                                                                                    δ 2 − ω 20 t
                                                                                                   .   (1.52)
Ðåøåíèå ñîäåðæèò äâå íåçàâèñèìûå êîíñòàíòû s01 è s02, êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ èç íà-
÷àëüíûõ óñëîâèé s(0), v (0).
        çàâèñèìîñòè îò ñîîòíîøåíèÿ δ è ω0 âîçìîæíû òðè ñëó÷àÿ.
        Åñëè δ < ω0, òî    δ 2 − ω02 = i ω02 − δ 2 , ãäå i ≡ − 1 — «ìíèìàÿ» åäèíèöà. Ðåøå-
íèå ÿâëÿåòñÿ êîìïëåêñíûì1), íî, ïîñêîëüêó íà÷àëüíûå óñëîâèÿ äåéñòâèòåëüíûå, òî ñ
ïîìîùüþ ôîðìóëû Ýéëåðà:
                                 e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ                        (1.53)
íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî îáùåå ðåøåíèå áóäåò äåéñòâèòåëüíî è ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå:
                                   s(t ) = s0 e − δt sin(ωt + ϕ 0 ) ,                                  (1.54)
òî åñòü ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé çàòóõàþùèå êîëåáàíèÿ, ÷àñòîòà êîòîðûõ ω ìåíüøå, ÷åì ó
ñîáñòâåííûõ íåçàòóõàþùèõ êîëåáàíèé:
                                             ω = ω02 − δ 2 .                                           (1.55)
       Êîëåáàíèÿ, îïèñûâàåìûå (1.54), íå ÿâëÿþòñÿ ãàðìîíè÷åñêèìè (ðèñ. 1.14). Ïîä
èõ àìïëèòóäîé áóäåì ïîíèìàòü âåëè÷èíó
                                              A( t ) = s0 e −δt ,                                      (1.56)
êîòîðàÿ ìîíîòîííî óáûâàåò ñî âðåìåíåì. «Äëèòåëüíîñòü» êîëåáàíèé õàðàêòåðèçóåòñÿ
âðåìåíåì çàòóõàíèÿ
                                           1
                                        τ= .                             (1.57)
                                           δ
        Åñëè ïîäñòàâèòü τ â (1.56), òî ëåãêî s
âèäåòü, ÷òî ïî èñòå÷åíèè âðåìåíè çàòóõà-
                                                             A(t)
íèÿ τ àìïëèòóäà óáûâàåò â å ðàç. Êîëè÷å-
ñòâî ñîâåðøåííûõ ñèñòåìîé êîëåáàíèé çà
âðåìÿ τ ðàâíî îòíîøåíèþ ýòîãî âðåìåíè ê 0                                     t
ïåðèîäó çàòóõàþùèõ êîëåáàíèé T = 2π / ω.
Åñëè çàòóõàíèå â ñèñòåìå ìàëî (δ << ω0), òî
ïåðèîä êîëåáàíèé T ≈ 2π / ω0, è ÷èñëî ýòèõ
                                                         Ðèñ. 1.14.
êîëåáàíèé âåëèêî:

                                                   τ ω0
                                          N=        ≈    >> 1 .                                        (1.58)
                                                   T 2πδ
1)Áîëåå ïîäðîáíî ìåòîä êîìïëåêñíûõ àìïëèòóä áóäåò îáñóæäàòüñÿ íèæå, ïðè ðàññìîòðåíèè âû-
íóæäåííûõ êîëåáàíèé.

Страницы