Колебания и волны. Алешкевич В.А - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Êîëåáàíèÿ è âîëíû
20
Çàìåòèì, ÷òî íåãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ ìîãóò âîçíèêàòü íå òîëüêî ïðè áîëü-
øèõ îòêëîíåíèÿõ îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ñèñòåìû. Íàïðèìåð, åñëè â ðàçëîæåíèè âîç-
âðàùàþùåé ñèëû F
τ
(s) ïî ñòåïåíÿì s îòñóòñòâóåò ëèíåéíûé ÷ëåí, è îíî íà÷èíàåòñÿ ñ
÷ëåíà, ïðîïîðöèîíàëüíîãî s
3
, òî êîëåáàíèÿ áóäóò àíãàðìîíè÷åñêèìè ïðè ëþáûõ, äàæå
ñêîëü óãîäíî ìàëûõ, îòêëîíåíèÿõ.
Ñâîáîäíûå êîëåáàíèÿ â äèññèïàòèâíûõ ñèñòåìàõ ñ âÿçêèì òðåíèåì. Â ðå-
àëüíûõ ñèñòåìàõ âñåãäà ïðîèñõîäèò äèññèïàöèÿ ýíåðãèè. Åñëè ïîòåðè ýíåðãèè íå áóäóò
êîìïåíñèðîâàòüñÿ çà ñ÷åò âíåøíèõ óñòðîéñòâ, òî êîëåáàíèÿ ñ òå÷åíèåì âðåìåíè áóäóò
çàòóõàòü è ÷åðåç êàêîåòî âðåìÿ ïðåêðàòÿòñÿ âîîáùå.
Ôîðìàëüíî çàòóõàþùèå êîëåáàíèÿ îïèñûâàþòñÿ óðàâíåíèåì
ms
&&
= F
τ
( s )+F
òð
(
&
)s
, (1.46)
êîòîðîå, â îòëè÷èå îò (1.2), ïîìèìî âîçâðàùàþùåé ñèëû F
τ
, ñîäåðæèò è ñèëó òðåíèÿ F
òð
.
Ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ äâèæåíèþ, âîîáùå ãîâîðÿ, çàâèñèò êàê îò íàïðàâëåíèÿ ñêîðîñòè
(íàïðèìåð, ïðè ñóõîì òðåíèè), òàê è îò âåëè÷èíû ñêîðîñòè (ïðè äâèæåíèè â âÿçêîé
ñðåäå). Åñëè âîçâðàùàþùàÿ ñèëà ïðîïîðöèîíàëüíà ñìåùåíèþ: F
τ
(s)=ks, ãäå k  êîýô-
ôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè (äëÿ ïðóæèííîãî ìàÿòíèêà  æåñòêîñòü ïðóæèíû), òî óðàâ-
íåíèå (1.46) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå
&&
s
F
m
s
−+=
òð
ω
0
2
0
, (1.47)
ãäå
m
k
=ω
0
 ñîáñòâåííàÿ ÷àñòîòà íåçàòóõàþùèõ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé.
Âíà÷àëå ìû ðàññìîòðèì çàòóõàþùèå êîëåáàíèÿ â ñëó÷àå, êîãäà íà êîëåáëþùåå-
ñÿ òåëî äåéñòâóåò ñèëà âÿçêîãî òðåíèÿ, ïðîïîðöèîíàëüíàÿ ñêîðîñòè: F
òð
=
Γ
&
s
. Òàêàÿ
ñèòóàöèÿ ìîæåò èìåòü ìåñòî, íàïðèìåð, ïðè êîëåáàòåëüíîì äâèæåíèè òåëà â âîçäóõå
èëè æèäêîñòè, êîãäà ÷èñëî Ðåéíîëüäñà Re ∼ 1 èëè Re < 1. Òîãäà óðàâíåíèå (1.47) ìîæíî
çàïèñàòü â âèäå:
02
2
0
=ω+δ+
sss
&&&
, (1.48)
ãäå
δ=
Γ
2m
 êîýôôèöèåíò, èëè ïîêàçàòåëü çàòóõàíèÿ.
Îáùàÿ èäåÿ ðåøåíèÿ îäíîðîäíûõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé òèïà (1.48) çàêëþ÷àåòñÿ
â ñëåäóþùåì: â êà÷åñòâå ôóíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòè s(t) íàäî âûáðàòü òàêóþ, êîòîðàÿ
ïðè äèôôåðåíöèðîâàíèè ïî âðåìåíè ïåðåõîäèò â ñàìó ñåáÿ, òî åñòü ýêñïîíåíòó: s(t)=s
0
e
λt
.
Ïîäñòàâèì åå â óðàâíåíèå (1.48):
s
0
e
λt
(λ
2
+2δλ +
ω
0
2
) = 0. (1.49)
Ïîñêîëüêó e
λt
≠ 0, ïîëó÷àåì òàê íàçûâàåìîå «õàðàêòåðèñòè÷åñêîå» óðàâíåíèå:
02
2
0
2
=ω+δλ+λ , (1.50)
êîòîðîå â äàííîì ñëó÷àå (äëÿ óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà) èìååò äâà êîðíÿ
2
0
2
21
ω−δ±δ−=λ
,
, (1.51)
20                                                                Êîëåáàíèÿ è âîëíû

        Çàìåòèì, ÷òî íåãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ ìîãóò âîçíèêàòü íå òîëüêî ïðè áîëü-
øèõ îòêëîíåíèÿõ îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ñèñòåìû. Íàïðèìåð, åñëè â ðàçëîæåíèè âîç-
âðàùàþùåé ñèëû Fτ(s) ïî ñòåïåíÿì s îòñóòñòâóåò ëèíåéíûé ÷ëåí, è îíî íà÷èíàåòñÿ ñ
÷ëåíà, ïðîïîðöèîíàëüíîãî s3, òî êîëåáàíèÿ áóäóò àíãàðìîíè÷åñêèìè ïðè ëþáûõ, äàæå
ñêîëü óãîäíî ìàëûõ, îòêëîíåíèÿõ.


        Ñâîáîäíûå êîëåáàíèÿ â äèññèïàòèâíûõ ñèñòåìàõ ñ âÿçêèì òðåíèåì. Â ðå-
àëüíûõ ñèñòåìàõ âñåãäà ïðîèñõîäèò äèññèïàöèÿ ýíåðãèè. Åñëè ïîòåðè ýíåðãèè íå áóäóò
êîìïåíñèðîâàòüñÿ çà ñ÷åò âíåøíèõ óñòðîéñòâ, òî êîëåáàíèÿ ñ òå÷åíèåì âðåìåíè áóäóò
çàòóõàòü è ÷åðåç êàêîå–òî âðåìÿ ïðåêðàòÿòñÿ âîîáùå.
        Ôîðìàëüíî çàòóõàþùèå êîëåáàíèÿ îïèñûâàþòñÿ óðàâíåíèåì
                                 ms&& = Fτ(s) + Fòð ( s&) ,                 (1.46)
êîòîðîå, â îòëè÷èå îò (1.2), ïîìèìî âîçâðàùàþùåé ñèëû Fτ, ñîäåðæèò è ñèëó òðåíèÿ Fòð.
Ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ äâèæåíèþ, âîîáùå ãîâîðÿ, çàâèñèò êàê îò íàïðàâëåíèÿ ñêîðîñòè
(íàïðèìåð, ïðè ñóõîì òðåíèè), òàê è îò âåëè÷èíû ñêîðîñòè (ïðè äâèæåíèè â âÿçêîé
ñðåäå). Åñëè âîçâðàùàþùàÿ ñèëà ïðîïîðöèîíàëüíà ñìåùåíèþ: Fτ(s) = –ks, ãäå k — êîýô-
ôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè (äëÿ ïðóæèííîãî ìàÿòíèêà — æåñòêîñòü ïðóæèíû), òî óðàâ-
íåíèå (1.46) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå
                                           Fòð
                                   &&s −         + ω 20 s = 0 ,                   (1.47)
                                           m

           k
ãäå ω0 =     — ñîáñòâåííàÿ ÷àñòîòà íåçàòóõàþùèõ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé.
          m
        Âíà÷àëå ìû ðàññìîòðèì çàòóõàþùèå êîëåáàíèÿ â ñëó÷àå, êîãäà íà êîëåáëþùåå-
ñÿ òåëî äåéñòâóåò ñèëà âÿçêîãî òðåíèÿ, ïðîïîðöèîíàëüíàÿ ñêîðîñòè: Fòð = – Γ s& . Òàêàÿ
ñèòóàöèÿ ìîæåò èìåòü ìåñòî, íàïðèìåð, ïðè êîëåáàòåëüíîì äâèæåíèè òåëà â âîçäóõå
èëè æèäêîñòè, êîãäà ÷èñëî Ðåéíîëüäñà Re ∼ 1 èëè Re < 1. Òîãäà óðàâíåíèå (1.47) ìîæíî
çàïèñàòü â âèäå:
                                   &s& + 2δs& + ω02 s = 0 ,                       (1.48)
        Γ
ãäå δ =     — êîýôôèöèåíò, èëè ïîêàçàòåëü çàòóõàíèÿ.
       2m
        Îáùàÿ èäåÿ ðåøåíèÿ îäíîðîäíûõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé òèïà (1.48) çàêëþ÷àåòñÿ
â ñëåäóþùåì: â êà÷åñòâå ôóíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòè s(t) íàäî âûáðàòü òàêóþ, êîòîðàÿ
ïðè äèôôåðåíöèðîâàíèè ïî âðåìåíè ïåðåõîäèò â ñàìó ñåáÿ, òî åñòü ýêñïîíåíòó: s(t) = s0eλt.
Ïîäñòàâèì åå â óðàâíåíèå (1.48):
                              s0eλt(λ2 + 2δλ + ω 20 ) = 0.                       (1.49)
            λt
Ïîñêîëüêó e ≠ 0, ïîëó÷àåì òàê íàçûâàåìîå «õàðàêòåðèñòè÷åñêîå» óðàâíåíèå:
                                  λ2 + 2δλ + ω02 = 0,                            (1.50)
êîòîðîå â äàííîì ñëó÷àå (äëÿ óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà) èìååò äâà êîðíÿ
                                 λ1,2 = −δ ± δ 2 − ω02 ,                          (1.51)

Страницы