Колебания и волны. Алешкевич В.А - 19 стр.

18                                                          Êîëåáàíèÿ è âîëíû

ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü, êàê áûñòðî äâèæåòñÿ òî÷êà Ð ïî òðàåêòîðèè. Îäíàêî ïåðèîä íåëè-
íåéíûõ êîëåáàíèé ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà ìîæíî ïîëó÷èòü íà îñíîâå ïðèáëèæåííî-
ãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (1.28).


         Íåãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà. Êîëåáàíèÿ ìàòå-
ìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà ïðè áîëüøèõ àìïëèòóäàõ, êàê óæå îòìå÷àëîñü, íå áóäóò ãàðìîíè-
÷åñêèìè. Ýòî ïðîèñõîäèò ïîòîìó, ÷òî âîçâðàùàþùàÿ ñèëà â ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ
(1.28) ïðîïîðöèîíàëüíà sin α è ïðè áîëüøèõ α ñòàíîâèòñÿ ìåíüøå òîé «ëèíåéíîé» ñèëû
(ïðîïîðöèîíàëüíîé α), êîòîðàÿ âîçâðàùàåò êîëåáëþùóþñÿ ìàññó â ïîëîæåíèå ðàâíîâå-
ñèÿ çà íåèçìåííîå âðåìÿ, ðàâíîå ÷åòâåðòè ïåðèîäà êîëåáàíèé. Òàêàÿ «ëèíåéíàÿ» ñèëà
îáåñïå÷èâàåò íåçàâèñèìîñòü ýòîãî âðåìåíè îò àìïëèòóäû α0, ò.å. èçîõðîííîñòü êîëåáàíèé.
         Äëÿ àíàëèçà êîëåáàíèé ïðè áîëüøèõ àìïëèòóäàõ α0 çàïèøåì ðàçëîæåíèå sin α â ðÿä:
                                         1 3
                                sin α = α –α + ... ,                         (1.35)
                                         6
â êîòîðîì îòáðîøåíû ÷ëåíû áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà: α5, α7 è ò.ä. Ïîäñòàíîâêà (1.35) â
(1.28) ïðèâîäèò ê íåëèíåéíîìó óðàâíåíèþ êîëåáàíèé:
                                 d 2α       ω 20 3
                                    2
                                        + ω 20 α =
                                                α .                        (1.36)
                               dt            6
        Ðåøåíèåì ýòîãî óðàâíåíèÿ óæå íå áóäåò ãàðìîíè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ. Äåéñòâèòåëü-
íî, äîïóñòèì, ÷òî ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (1.36) áóäåò ãàðìîíè÷åñêîå êîëåáàíèå âèäà
α(t) = α0 sin(ωt + ϕ0). Ïîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå â ïðàâóþ ÷àñòü (1.36) è ó÷èòûâàÿ òðèãî-
íîìåòðè÷åñêîå òîæäåñòâî
                                         3         1
                             sin 3 ωt ≡    sin ωt − sin 3ωt,                      (1.37)
                                         4         4
ïðèõîäèì ê ïðîòèâîðå÷èþ. Ïîëó÷àåòñÿ òàê, ÷òî íåëèíåéíûé ÷ëåí â ïðàâîé ÷àñòè óðàâ-
íåíèÿ èçìåíÿåòñÿ âî âðåìåíè íå òîëüêî ñ îñíîâíîé ÷àñòîòîé ω, íî òàêæå è ñ óòðîåííîé
÷àñòîòîé 3ω (÷àñòîòîé òðåòüåé ãàðìîíèêè). ×òîáû óñòðàíèòü ýòî ïðîòèâîðå÷èå, áóäåì
ñ÷èòàòü, ÷òî êîëåáàíèÿ ìàÿòíèêà ïðîèñõîäÿò îäíîâðåìåííî íà ÷àñòîòàõ ω è 3ω òàê, ÷òî
                        α(t) = α0 sin(ωt + ϕ0) + εα0 sin3(ωt + ϕ0),               (1.38)
ãäå ε — áåçðàçìåðíûé ïàðàìåòð.
         Ïîäñòàâëÿÿ (1.38) â (1.36), ñíîâà îáíàðóæèâàåì, ÷òî íåëèíåéíûé ÷ëåí, ïîìèìî
äâóõ ÷àñòîò ω è 3ω, ìåíÿåòñÿ âî âðåìåíè è íà ÷àñòîòå 9ω. Ýòî ãîâîðèò î òîì, ÷òî ðåøåíèå
(1.38) íå ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì (â íåì îòñóòñòâóþò âûñøèå ãàðìîíèêè 9ω, 27ω è ò.ä.). Ìåæäó
òåì, åñëè àìïëèòóäà êîëåáàíèé α0 íå î÷åíü âåëèêà, òî ïàðàìåòð ε << 1, è îòñóòñòâóþùèå
÷ëåíû ñ âûñøèìè ãàðìîíèêàìè èìåþò àìïëèòóäû ε2α0, ε3α0 è ò. ä., êîòîðûå ìíîãî ìåíü-
øå àìïëèòóäû òðåòüåé ãàðìîíèêè εα0.
         Òåïåðü ðàññ÷èòàåì ÷àñòîòó ω. Äëÿ ïðîñòîòû ïîëîæèì ϕ0 = 0 (ìàÿòíèê ïîëó÷àåò
íà÷àëüíûé òîë÷îê â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ). Èñïîëüçóÿ (1.38), çàïèøåì êàæäûé èç òðåõ
÷ëåíîâ óðàâíåíèÿ (1.36), îïóñêàÿ ñëàãàåìûå, èìåþùèå ïîðÿäîê ìàëîñòè ε2 è âûøå: