Колебания и волны. Алешкевич В.А - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Êîëåáàíèÿ è âîëíû
16
Ïðîàíàëèçèðóåì íà ôàçîâîé ïëîñêîñòè êîëåáàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà
ïðè ïðîèçâîëüíûõ óãëàõ α îòêëîíåíèÿ îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Ïðè ýòîì áóäåì ñ÷è-
òàòü, ÷òî òî÷å÷íàÿ ìàññà m ïðèêðåïëåíà íå ê íèòè, à ê æåñòêîìó íåâåñîìîìó ñòåðæíþ
äëèíû l. Ïåðâîå èç óðàâíåíèé (1.2) çàïèøåì â âèäå
αω−=
α
sin
dt
d
2
0
2
2
. (1.28)
Ýòî íåëèíåéíîå óðàâíåíèå íå èìååò ïðîñòîãî àíàëèòè÷åñêîãî
ðåøåíèÿ, ïîýòîìó ïîçäíåå ìû ïðèâåäåì åãî ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå. Îä-
íàêî ìíîãèå çàêîíîìåðíîñòè òàêèõ êîëåáàíèé ìîæíî ïðîàíàëèçèðîâàòü
ñ èñïîëüçîâàíèåì ôàçîâîãî ïîðòðåòà íà ïëîñêîñòè (α;
&
α
α
=
d
d
t
).
Ñ ýòîé öåëüþ óðàâíåíèå (1.28) íàäî ïðåîáðàçîâàòü ê òàêîìó âèäó, ÷òî-
áû â íåì îñòàëèñü òîëüêî ýòè ïåðåìåííûå, à âðåìÿ áûëî áû èñêëþ÷å-
íî. Äëÿ ýòîãî óãëîâîå óñêîðåíèå â ëåâîé ÷àñòè (1.28) ïðåîáðàçóåì ê
âèäó:
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
2
22
1
2
ααα
α
αα
α
α
α
α
t
tt
==⋅=⋅=
&& &
&
(
&
)
. (1.29)
Ïîäñòàâëÿÿ (1.29) â (1.28), ïîëó÷èì
1
2
2
0
2
d d(
&
)sinαωαα=−
. (1.30)
Óðàâíåíèå (1.30) îòðàæàåò òîò ôàêò, ÷òî ïðèðàùåíèå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ìàÿòíèêà
ðàâíî óáûëè åãî ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè â ïîëå ñèëû òÿæåñòè. Èíòåãðèðóÿ (1.30), ïîëó÷èì
&
cos
α
ωα
2
0
2
2
−=const
. (1.31)
Åñëè ïðèíÿòü, ÷òî ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ìàÿòíèêà â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ
ðàâíà íóëþ, òî êîíñòàíòà âûðàæàåòñÿ ÷åðåç çàïàñåííóþ ìàÿòíèêîì ýíåðãèþ E
0
=
1
2
ml
2
&
α
0
2
(
0
α
&
 óãëîâàÿ ñêîðîñòü ìàÿòíèêà â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ):
2
0
2
0
ω−=
lm
E
const
. (1.32)
Óðàâíåíèå ôàçîâîé òðàåêòîðèè (1.31) îêîí÷àòåëüíî çàïèøåòñÿ â âèäå:
1
2
1
2
0
2
0
2
0
2
&
(cos)
α
ω
α
ω
+− =
E
ml
. (1.33)
Ïðè ýòîì ïîòåíöèàëüíàÿ è êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèè çàäàþòñÿ âûðàæåíèÿìè
E
êèí
=
1
2
ml
2
&
α
2
; E
êèí
= ml
2
ω
0
2
(1  cos α). (1.34)
Ðèñ. 1.12.
a
s
0
l
m
16                                                                        Êîëåáàíèÿ è âîëíû

         Ïðîàíàëèçèðóåì íà ôàçîâîé ïëîñêîñòè êîëåáàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà
ïðè ïðîèçâîëüíûõ óãëàõ α îòêëîíåíèÿ îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Ïðè ýòîì áóäåì ñ÷è-
òàòü, ÷òî òî÷å÷íàÿ ìàññà m ïðèêðåïëåíà íå ê íèòè, à ê æåñòêîìó íåâåñîìîìó ñòåðæíþ
äëèíû l. Ïåðâîå èç óðàâíåíèé (1.2) çàïèøåì â âèäå

                                          d 2α
                                                2
                                                    = −ω02 sin α .                     (1.28)
                                           dt
                            Ýòî íåëèíåéíîå óðàâíåíèå íå èìååò ïðîñòîãî àíàëèòè÷åñêîãî
                    ðåøåíèÿ, ïîýòîìó ïîçäíåå ìû ïðèâåäåì åãî ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå. Îä-
  a
                    íàêî ìíîãèå çàêîíîìåðíîñòè òàêèõ êîëåáàíèé ìîæíî ïðîàíàëèçèðîâàòü
        l
                                                                                   dα
                    ñ èñïîëüçîâàíèåì ôàçîâîãî ïîðòðåòà íà ïëîñêîñòè (α; α& =           ).
                                                                                    dt
                    Ñ ýòîé öåëüþ óðàâíåíèå (1.28) íàäî ïðåîáðàçîâàòü ê òàêîìó âèäó, ÷òî-
                s   áû â íåì îñòàëèñü òîëüêî ýòè ïåðåìåííûå, à âðåìÿ áûëî áû èñêëþ÷å-
            m
 0                  íî. Äëÿ ýòîãî óãëîâîå óñêîðåíèå â ëåâîé ÷àñòè (1.28) ïðåîáðàçóåì ê
  Ðèñ. 1.12.        âèäó:

                        d 2α        dα& dα& dα dα&        1 d (α& 2 )
                                =      =   ⋅  =    ⋅ α& =             .                (1.29)
                         dt 2       dt dα dt dα           2 dα
Ïîäñòàâëÿÿ (1.29) â (1.28), ïîëó÷èì
                                      1
                                        d (α& 2 ) = − ω 20 sin α dα .                  (1.30)
                                      2
        Óðàâíåíèå (1.30) îòðàæàåò òîò ôàêò, ÷òî ïðèðàùåíèå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ìàÿòíèêà
ðàâíî óáûëè åãî ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè â ïîëå ñèëû òÿæåñòè. Èíòåãðèðóÿ (1.30), ïîëó÷èì

                                       α& 2
                                            − ω 20 cos α = const .                     (1.31)
                                         2
          Åñëè ïðèíÿòü, ÷òî ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ìàÿòíèêà â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ
                                                                           1
ðàâíà íóëþ, òî êîíñòàíòà âûðàæàåòñÿ ÷åðåç çàïàñåííóþ ìàÿòíèêîì ýíåðãèþ E0 = ml2 α& 20
                                                                           2
( α& 0 — óãëîâàÿ ñêîðîñòü ìàÿòíèêà â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ):

                                                       E0
                                          const =            − ω02 .                   (1.32)
                                                      ml 2
        Óðàâíåíèå ôàçîâîé òðàåêòîðèè (1.31) îêîí÷àòåëüíî çàïèøåòñÿ â âèäå:

                                    1 α& 2                  E0
                                         2
                                           + (1 − cos α) =           .                 (1.33)
                                    2 ω0                   ml 2 ω 20

Ïðè ýòîì ïîòåíöèàëüíàÿ è êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèè çàäàþòñÿ âûðàæåíèÿìè
                             1 2 2
                    Eêèí =     ml α& ;                  Eêèí = ml2 ω 20 (1 – cos α).   (1.34)
                             2

Страницы