Колебания и волны. Алешкевич В.А - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

17
Ëåêöèÿ 1
Èñïîëüçóÿ (1.33), ïîñòðîèì ôàçîâûé ïîðòðåò ñèñòåìû (ðèñ. 1.13).
Îò÷åòëèâî âèäíû äâà òèïà ôàçîâûõ òðàåêòîðèé, ñîîòâåòñòâóþùèå äâóì òèïàì
äâèæåíèÿ. Çàìêíóòûå òðàåêòîðèè, îêðóæàþùèå îñîáûå òî÷êè òèïà «öåíòð» ñ êîîðäèíà-
òàìè
&
α
= 0, α =2πn (n  öåëîå ÷èñëî), ñîîòâåòñòâóþò êîëåáàíèÿì ìàÿòíèêà îòíîñè-
òåëüíî óñòîé÷èâîãî íèæíåãî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Òàêèå êîëåáàíèÿ èìåþò ìåñòî, åñëè
ýíåðãèÿ ñèñòåìû E
0
< ml
2
ω
0
2
=2mgl (ñì. ðèñ. 1.13). Ïðè ýòîì, åñëè E
0
<< 2mgl, òî êîëå-
áàíèÿ áóäóò ãàðìîíè÷åñêèìè, à ôàçîâûå òðàåêòîðèè  ýëëèïñàìè. Åñëè E
0
∼ 2mgl, òî
êîëåáàíèÿ áóäóò íåãàðìîíè÷åñêèìè. Ïðè óâåëè÷åíèè ýíåðãèè, à, çíà÷èò, è àìïëèòóäû
êîëåáàíèé îñöèëëÿòîðà, èõ ïåðèîä áóäåò âîçðàñòàòü, ïîñêîëüêó âîçâðàùàþùàÿ ñèëà â
óðàâíåíèè (1.28) ìåíüøå, ÷åì â ñëó÷àå ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà.
Âåðõíåìó ïîëîæåíèþ ðàâíîâåñèÿ ñ êîîðäèíàòàìè
&
α
= 0, α =(2n1)π ñîîòâåò-
ñòâóþò îñîáûå òî÷êè òèïà «ñåäëî». Ôàçîâûå êðèâûå, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç «ñåäëà», ñîîò-
âåòñòâóþò ýíåðãèè E
0
=2mgl è íàçûâàþòñÿ ñåïàðàòðèñàìè.
Åñëè, íàêîíåö, E
0
> 2mgl, òî ïîëó÷àþòñÿ íåçàìêíóòûå (óáåãàþùèå) òðàåêòîðèè,
ñîîòâåòñòâóþùèå âðàùàòåëüíîìó äâèæåíèþ ìàÿòíèêà.
Òàêèì îáðàçîì, ñåïàðàòðèñû ðàçäåëÿþò ôàçîâóþ ïëîñêîñòü íà äâå îáëàñòè:
îáëàñòü çàìêíóòûõ òðàåêòîðèé è îáëàñòü òðàåêòîðèé, ïðèõîäÿùèõ èç áåñêîíå÷íîñòè è
óõîäÿùèõ â áåñêîíå÷íîñòü.
Îòìåòèì, ÷òî äëÿ íåãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé íåëüçÿ óïîòðåáëÿòü òåðìèí «êðó-
ãîâàÿ ÷àñòîòà», ïîñêîëüêó, êàê áóäåò ïîêàçàíî íèæå, òàêèå êîëåáàíèÿ ÿâëÿþòñÿ, êàê ïðà-
âèëî, ñóïåðïîçèöèåé ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé ñ ðàçëè÷íûìè ÷àñòîòàìè. Ïåðèîä æå
ÿâëÿåòñÿ ïîïðåæíåìó îäíîé èç ãëàâíûõ õàðàêòåðèñòèê êîëåáàíèé. Ôàçîâûé ïîðòðåò íå
Ðèñ. 1.13.
E
ïîò
a
a
p
2
p
3
p
-p
0
a
2 m
lw
22
0
Emg >2
l
0
Emg =2
l
0
Emg <2
l
0
Ëåêöèÿ 1                                                                             17

                    E ïîò
                  2ml 2w 20




          -p                  0           p             2p              3p     a

                        a
                                                           E0 >2mgl
                                                                 E0 = 2mgl


                                                                               a


                                                             E 0 < 2mgl
                                       Ðèñ. 1.13.
       Èñïîëüçóÿ (1.33), ïîñòðîèì ôàçîâûé ïîðòðåò ñèñòåìû (ðèñ. 1.13).
       Îò÷åòëèâî âèäíû äâà òèïà ôàçîâûõ òðàåêòîðèé, ñîîòâåòñòâóþùèå äâóì òèïàì
äâèæåíèÿ. Çàìêíóòûå òðàåêòîðèè, îêðóæàþùèå îñîáûå òî÷êè òèïà «öåíòð» ñ êîîðäèíà-
     & = 0, α = 2πn (n — öåëîå ÷èñëî), ñîîòâåòñòâóþò êîëåáàíèÿì ìàÿòíèêà îòíîñè-
òàìè α
òåëüíî óñòîé÷èâîãî íèæíåãî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Òàêèå êîëåáàíèÿ èìåþò ìåñòî, åñëè
ýíåðãèÿ ñèñòåìû E0 < ml2 ω 20 = 2mgl (ñì. ðèñ. 1.13). Ïðè ýòîì, åñëè E0 << 2mgl, òî êîëå-
áàíèÿ áóäóò ãàðìîíè÷åñêèìè, à ôàçîâûå òðàåêòîðèè – ýëëèïñàìè. Åñëè E0 ∼ 2mgl, òî
êîëåáàíèÿ áóäóò íåãàðìîíè÷åñêèìè. Ïðè óâåëè÷åíèè ýíåðãèè, à, çíà÷èò, è àìïëèòóäû
êîëåáàíèé îñöèëëÿòîðà, èõ ïåðèîä áóäåò âîçðàñòàòü, ïîñêîëüêó âîçâðàùàþùàÿ ñèëà â
óðàâíåíèè (1.28) ìåíüøå, ÷åì â ñëó÷àå ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà.
        Âåðõíåìó ïîëîæåíèþ ðàâíîâåñèÿ ñ êîîðäèíàòàìè α  & = 0, α = (2n – 1)π ñîîòâåò-
ñòâóþò îñîáûå òî÷êè òèïà «ñåäëî». Ôàçîâûå êðèâûå, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç «ñåäëà», ñîîò-
âåòñòâóþò ýíåðãèè E0 = 2mgl è íàçûâàþòñÿ ñåïàðàòðèñàìè.
        Åñëè, íàêîíåö, E0 > 2mgl, òî ïîëó÷àþòñÿ íåçàìêíóòûå (óáåãàþùèå) òðàåêòîðèè,
ñîîòâåòñòâóþùèå âðàùàòåëüíîìó äâèæåíèþ ìàÿòíèêà.
        Òàêèì îáðàçîì, ñåïàðàòðèñû ðàçäåëÿþò ôàçîâóþ ïëîñêîñòü íà äâå îáëàñòè:
îáëàñòü çàìêíóòûõ òðàåêòîðèé è îáëàñòü òðàåêòîðèé, ïðèõîäÿùèõ èç áåñêîíå÷íîñòè è
óõîäÿùèõ â áåñêîíå÷íîñòü.
        Îòìåòèì, ÷òî äëÿ íåãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé íåëüçÿ óïîòðåáëÿòü òåðìèí «êðó-
ãîâàÿ ÷àñòîòà», ïîñêîëüêó, êàê áóäåò ïîêàçàíî íèæå, òàêèå êîëåáàíèÿ ÿâëÿþòñÿ, êàê ïðà-
âèëî, ñóïåðïîçèöèåé ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé ñ ðàçëè÷íûìè ÷àñòîòàìè. Ïåðèîä æå
ÿâëÿåòñÿ ïî–ïðåæíåìó îäíîé èç ãëàâíûõ õàðàêòåðèñòèê êîëåáàíèé. Ôàçîâûé ïîðòðåò íå

Страницы