Колебания и волны. Алешкевич В.А - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

19
Ëåêöèÿ 1
d
d
2
2
2
0
2
0
22
00
2
0
0
23
0
2
0
3
0
2
0
3
0
2
0
32
93
3
1
6
3
24 24
3
2
3
α
ωα ω ωεα ω
ωα ωα ω ωεα ω
ωα
ω
αω
ω
αω
ω
αε ω ω
t
tt
tt
tt tt
=− −
=+
−=− + −
sin sin ;
sin sin ;
sin sin sin sin .
(1.39)
Çàìåòèì, ÷òî â ïîñëåäíåì ðàâåíñòâå òðåòüå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè, ñîäåðæàùåå
ìíîæèòåëü
εα
3
0
, ìàëî ïî ñðàâíåíèþ ñ äâóìÿ ïðåäûäóùèìè, è åãî òàêæå ìîæíî îòáðîñèòü.
Ñëîæèì ïîëó÷åííûå òðè ðàâåíñòâà.  ñèëó (1.36), ñóììà ëåâûõ ÷àñòåé ðàâåíñòâ
(1.39) ðàâíà íóëþ. Ïîýòîìó
0
3
24
9
1
24
3
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
=−+− +− + +αωω ωα ωα ωεωε ωα ω()sin( )sintt
. (1.40)
Ïîñêîëüêó ðàâåíñòâî (1.40) äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ äëÿ ëþáîãî ìîìåíòà âðåìåíè,
òî êàæäîå èç âûðàæåíèé, ñòîÿùèõ â êðóãëûõ ñêîáêàõ, äîëæíî ðàâíÿòüñÿ íóëþ. Èç ðàâåí-
ñòâà íóëþ ïåðâîãî âûðàæåíèÿ ëåãêî îïðåäåëèòü êâàäðàò ÷àñòîòû îñíîâíîé ãàðìîíèêè
ωω α
2
0
2
0
2
1
1
8
=−
. (1.41)
Åñëè
α
0
2
8
<< 1, òî äëÿ ÷àñòîòû ïîëó÷èì
α
−ω≈
α
−ω=ω
16
1
8
1
2
0
0
21
2
0
0
/
. (1.42)
Ïîñëåäíåå âûðàæåíèå ïîêàçûâàåò, ÷òî ñ âîçðàñòàíèåì àìïëèòóäû êîëåáàíèé èõ ÷àñòîòà
óìåíüøàåòñÿ (ïåðèîä óâåëè÷èâàåòñÿ), ò.å. íàðóøàåòñÿ èçîõðîííîñòü êîëåáàíèé.
Ïðèðàâíÿåì äàëåå íóëþ âòîðîå âûðàæåíèå â êðóãëûõ ñêîáêàõ â ôîðìóëå (1.40):
0
24
9
2
0
2
0
2
0
2
=α
ω
+εω+εω− . (1.43)
Ñ÷èòàÿ, ÷òî ω≈ω
0
, íàõîäèì âåëè÷èíó ìàëîãî êîýôôèöèåíòà
ε
:
192
2
0
α
=ε
. (1.44)
Åñëè ïîëîæèòü α
0
= 15° = 0,26 ðàä, òî ε = 3,5⋅10
4
, è âêëàä òðåòüåé ãàðìîíèêè â êîëåáàíèÿ
íè÷òîæíî ìàë. Îòëè÷èå ÷àñòîòû ω îò ÷àñòîòû ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé ω
0
ñîñòàâèò âåëè÷èíó
ωω
ω
α
0
0
0
2
3
16
42 10
−
==⋅
−
,
. (1.45)
Äàæå ïðè α
0
∼ 1 ðàä ε≈5⋅10
3
, à
ωω
ω
0
0
−
∼ 6%. Òàêèì îáðàçîì, ïðèáëèæåííûì
ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (1.36) áóäåò (1.38), ãäå ÷àñòîòà ω îïðåäåëÿåòñÿ (1.41), à ïàðàìåòð ε
íàõîäèòñÿ èç (1.44).
Ëåêöèÿ 1                                                                                                19

                 d 2α
                       = −ω 2 α 0 sin ωt − 9ω 2 εα 0 sin 3ωt ;
                 dt 2
                 ω 2 α = ω 2 α 0 sin ωt + ω 20 εα 0 sin 3ωt ;                                       (1.39)
            1               3ω 20                ω 20                   ω 20
          − ω 20 α 3 = −    α 30 sin ωt +    α 30 sin 3ωt −   α 30 ε sin 2 ωt sin 3ωt .
            6            24               24                2
        Çàìåòèì, ÷òî â ïîñëåäíåì ðàâåíñòâå òðåòüå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè, ñîäåðæàùåå
ìíîæèòåëü α 30 ε , ìàëî ïî ñðàâíåíèþ ñ äâóìÿ ïðåäûäóùèìè, è åãî òàêæå ìîæíî îòáðîñèòü.
         Ñëîæèì ïîëó÷åííûå òðè ðàâåíñòâà.  ñèëó (1.36), ñóììà ëåâûõ ÷àñòåé ðàâåíñòâ
(1.39) ðàâíà íóëþ. Ïîýòîìó
                                   3 2 2                                         1
        0 = α 0 ( −ω 2 + ω 20 −      ω 0 α 0 ) sin ωt + α 0 ( −9ω 2 ε + ω 20 ε + ω 20 α 20 ) sin 3ωt. (1.40)
                                  24                                            24
        Ïîñêîëüêó ðàâåíñòâî (1.40) äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ äëÿ ëþáîãî ìîìåíòà âðåìåíè,
òî êàæäîå èç âûðàæåíèé, ñòîÿùèõ â êðóãëûõ ñêîáêàõ, äîëæíî ðàâíÿòüñÿ íóëþ. Èç ðàâåí-
ñòâà íóëþ ïåðâîãî âûðàæåíèÿ ëåãêî îïðåäåëèòü êâàäðàò ÷àñòîòû îñíîâíîé ãàðìîíèêè

                                                      1 
                                          ω 2 = ω 20  1 − α 20  .                                 (1.41)
                                                      8 

               α 20
        Åñëè        << 1, òî äëÿ ÷àñòîòû ïîëó÷èì
                8
                                                        1/ 2
                                 α2            α2 
                         ω = ω0 1 − 0  ≈ ω0 1 − 0  .                    (1.42)
                                    8         16 
                                                     
Ïîñëåäíåå âûðàæåíèå ïîêàçûâàåò, ÷òî ñ âîçðàñòàíèåì àìïëèòóäû êîëåáàíèé èõ ÷àñòîòà
óìåíüøàåòñÿ (ïåðèîä óâåëè÷èâàåòñÿ), ò.å. íàðóøàåòñÿ èçîõðîííîñòü êîëåáàíèé.
       Ïðèðàâíÿåì äàëåå íóëþ âòîðîå âûðàæåíèå â êðóãëûõ ñêîáêàõ â ôîðìóëå (1.40):

                                                               ω02 2
                                      − 9ω 2 ε + ω02 ε +          α0 = 0 .                          (1.43)
                                                               24
Ñ÷èòàÿ, ÷òî ω ≈ ω0, íàõîäèì âåëè÷èíó ìàëîãî êîýôôèöèåíòà ε :

                                                        α 02
                                                 ε=          .                                      (1.44)
                                                        192
Åñëè ïîëîæèòü α0 = 15° = 0,26 ðàä, òî ε = 3,5⋅10–4, è âêëàä òðåòüåé ãàðìîíèêè â êîëåáàíèÿ
íè÷òîæíî ìàë. Îòëè÷èå ÷àñòîòû ω îò ÷àñòîòû ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé ω0 ñîñòàâèò âåëè÷èíó

                             ω 0 − ω α 20
                                      =     = 4,2 ⋅ 10 −3 .                      (1.45)
                                ω0       16
                                         ω −ω
       Äàæå ïðè α0 ∼ 1 ðàä ε ≈ 5⋅10–3, à 0       ∼ 6%. Òàêèì îáðàçîì, ïðèáëèæåííûì
                                            ω0
ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (1.36) áóäåò (1.38), ãäå ÷àñòîòà ω îïðåäåëÿåòñÿ (1.41), à ïàðàìåòð ε
íàõîäèòñÿ èç (1.44).

Страницы