Колебания и волны. Алешкевич В.А - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

15
Ëåêöèÿ 1
Ïëîñêîñòü ïåðåìåííûõ s è v íàçûâàåòñÿ ôàçîâîé ïëîñêîñòüþ. Ñåìåéñòâî ôàçîâûõ
òðàåêòîðèé îáðàçóåò ôàçîâûé ïîðòðåò êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìû. Àíàëèç ôàçîâîãî ïîðòðåòà
äàåò õîòÿ è íå ïîëíóþ, íî îáøèðíóþ èíôîðìàöèþ î êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìå. Ê ïîñòðîåíèþ
òàêîãî ïîðòðåòà ïðèáåãàþò òîãäà, êîãäà íå óäàåòñÿ ðåøèòü àíàëèòè÷åñêè óðàâíåíèå, îïèñû-
âàþùåå ñëîæíûå êîëåáàíèÿ.  ïåðâóþ î÷åðåäü ýòî îòíîñèòñÿ ê íåëèíåéíûì êîëåáàíèÿì,
àíàëèç êîòîðûõ çàòðóäíåí èççà îòñóòñòâèÿ òî÷íûõ ðåøåíèé íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé.
Âíà÷àëå ïðîèëëþñòðèðóåì ñêàçàííîå íà
ïðèìåðå ïðîñòåéøèõ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé
âèäà s(t)=s
0
sin(ω
0
t + ϕ
0
). Ïîñêîëüêó ñêîðîñòü
v(t)=
d
d
s
t
=s
0
ω
0
sin(ω
0
t + ϕ
0
+
π
2
) îïåðåæàåò ñìåùåíèå
ïî ôàçå íà π/2, òî ôàçîâàÿ òðàåêòîðèÿ áóäåò
ýëëèïñîì. Òî÷êà P áóäåò äâèãàòüñÿ ïî ýëëèïòè÷åñêîé
òðàåêòîðèè ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå (ïðè v > 0 ñìåùåíèå s
óâåëè÷èâàåòñÿ, à ïðè v < 0 óìåíüøàåòñÿ (ðèñ. 1.11)).
Ïàðàìåòðû ýëëèïñà îïðåäåëÿþòñÿ ýíåðãèåé, çàïàñåííîé ãàðìîíè÷åñêèì îñöèëëÿ-
òîðîì. Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ïðóæèííîãî ìàÿòíèêà ïðîïîðöèîíàëüíà êâàäðàòó ñìåùåíèÿ:
E
ïîò
=
1
2
ks
2
=
1
2
k
s
0
2
sin
2
(ω
0
t + ϕ
0
). (1.24)
Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ïðîïîðöèîíàëüíà êâàäðàòó ñêîðîñòè:
E
êèí
=
1
2
mv
2
=
1
2
m
ω
0
2
s
0
2
cos
2
(ω
0
t + ϕ
0
). (1.25)
Åñëè ïðèíÿòü âî âíèìàíèå ðàâåíñòâî
2
0
ω= mk
, òî ëåãêî âèäåòü, ÷òî âçàèìîïðåâðàùåíèÿ
îäíîãî âèäà ýíåðãèè â äðóãîé çà ïåðèîä ïðîèñõîäÿò äâàæäû. Ïðè ýòîì ïîëíàÿ ýíåðãèÿ
ñèñòåìû îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé:
E
0
= E
ïîò
+ E
êèí
=
1
2
m(
ω
0
2
s
2
+ v
2
). (1.26)
Ðàâåíñòâî (1.26) êàê ðàç è ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì ýëëèïñà, êîòîðîå ìîæíî
ïåðåïèñàòü â áîëåå óäîáíîì âèäå:
s
E
m
2
2
0
2
0
0
2
2
+=
v
ωω
. (1.27)
Ôàçîâûé ïîðòðåò ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñåìåéñòâî
ýëëèïñîâ, êàæäîìó èç êîòîðûõ ñîîòâåòñòâóåò ýíåðãèÿ E
0
, çàïàñåííàÿ îñöèëëÿòîðîì.
Ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ â òî÷êå 0 íà ôàçîâîé ïëîñêîñòè ÿâëÿåòñÿ îñîáîé òî÷êîé è íàçû-
âàåòñÿ îñîáîé òî÷êîé òèïà «öåíòð».
Ñ óâåëè÷åíèåì ýíåðãèè E
0
âîçðàñòàþò àìïëèòóäû êîëåáàíèé ñìåùåíèÿ s
0
è ñêî-
ðîñòè s
0
ω
0
. Êîëåáàíèÿ, êàê ïðàâèëî, ïåðåñòàþò áûòü ãàðìîíè÷åñêèìè, à ôàçîâûå òðàåê-
òîðèè  ýëëèïñàìè.
Ðèñ. 1.11.
s
v
P
Ëåêöèÿ 1                                                                           15
         Ïëîñêîñòü ïåðåìåííûõ s è v íàçûâàåòñÿ ôàçîâîé ïëîñêîñòüþ. Ñåìåéñòâî ôàçîâûõ
òðàåêòîðèé îáðàçóåò ôàçîâûé ïîðòðåò êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìû. Àíàëèç ôàçîâîãî ïîðòðåòà
äàåò õîòÿ è íå ïîëíóþ, íî îáøèðíóþ èíôîðìàöèþ î êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìå. Ê ïîñòðîåíèþ
òàêîãî ïîðòðåòà ïðèáåãàþò òîãäà, êîãäà íå óäàåòñÿ ðåøèòü àíàëèòè÷åñêè óðàâíåíèå, îïèñû-
âàþùåå ñëîæíûå êîëåáàíèÿ.  ïåðâóþ î÷åðåäü ýòî îòíîñèòñÿ ê íåëèíåéíûì êîëåáàíèÿì,
àíàëèç êîòîðûõ çàòðóäíåí èç–çà îòñóòñòâèÿ òî÷íûõ ðåøåíèé íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé.
         Âíà÷àëå ïðîèëëþñòðèðóåì ñêàçàííîå íà                      v
ïðèìåðå ïðîñòåéøèõ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé                                  P
âèäà s(t) = s 0 sin(ω0t + ϕ0). Ïîñêîëüêó ñêîðîñòü
         ds                     π
v(t) =      = s0ω0sin(ω0t + ϕ0 + ) îïåðåæàåò ñìåùåíèå                                s
         dt                     2
ïî ôàçå íà π/2, òî ôàçîâàÿ òðàåêòîðèÿ áóäåò
ýëëèïñîì. Òî÷êà P áóäåò äâèãàòüñÿ ïî ýëëèïòè÷åñêîé
òðàåêòîðèè ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå (ïðè v > 0 ñìåùåíèå s
                                                              Ðèñ. 1.11.
óâåëè÷èâàåòñÿ, à ïðè v < 0 — óìåíüøàåòñÿ (ðèñ. 1.11)).
        Ïàðàìåòðû ýëëèïñà îïðåäåëÿþòñÿ ýíåðãèåé, çàïàñåííîé ãàðìîíè÷åñêèì îñöèëëÿ-
òîðîì. Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ïðóæèííîãî ìàÿòíèêà ïðîïîðöèîíàëüíà êâàäðàòó ñìåùåíèÿ:
                              1 2 1 2 2
                                ks = k s0 sin (ω0t + ϕ0).
                             Eïîò =                                             (1.24)
                              2      2
Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ïðîïîðöèîíàëüíà êâàäðàòó ñêîðîñòè:
                                    1 2 1
                           Eêèí =     mv = m ω 20 s02 cos2(ω0t + ϕ0).           (1.25)
                                    2     2
Åñëè ïðèíÿòü âî âíèìàíèå ðàâåíñòâî k = mω02, òî ëåãêî âèäåòü, ÷òî âçàèìîïðåâðàùåíèÿ
îäíîãî âèäà ýíåðãèè â äðóãîé çà ïåðèîä ïðîèñõîäÿò äâàæäû. Ïðè ýòîì ïîëíàÿ ýíåðãèÿ
ñèñòåìû îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé:
                                                      1
                             E0 = Eïîò + Eêèí =         m( ω 20s2 + v 2).       (1.26)
                                                      2
       Ðàâåíñòâî (1.26) êàê ðàç è ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì ýëëèïñà, êîòîðîå ìîæíî
ïåðåïèñàòü â áîëåå óäîáíîì âèäå:

                                               v2         2 E0
                                        s2 +          =           .             (1.27)
                                               ω 20       mω 20

        Ôàçîâûé ïîðòðåò ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñåìåéñòâî
ýëëèïñîâ, êàæäîìó èç êîòîðûõ ñîîòâåòñòâóåò ýíåðãèÿ E0, çàïàñåííàÿ îñöèëëÿòîðîì.
Ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ â òî÷êå 0 íà ôàçîâîé ïëîñêîñòè ÿâëÿåòñÿ îñîáîé òî÷êîé è íàçû-
âàåòñÿ îñîáîé òî÷êîé òèïà «öåíòð».
        Ñ óâåëè÷åíèåì ýíåðãèè E0 âîçðàñòàþò àìïëèòóäû êîëåáàíèé ñìåùåíèÿ s0 è ñêî-
ðîñòè s0ω0. Êîëåáàíèÿ, êàê ïðàâèëî, ïåðåñòàþò áûòü ãàðìîíè÷åñêèìè, à ôàçîâûå òðàåê-
òîðèè — ýëëèïñàìè.

Страницы