Колебания и волны. Алешкевич В.А - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Êîëåáàíèÿ è âîëíû
14
Òèïè÷íûì ïðèìåðîì äâóìåðíîãî îñöèëëÿòîðà (ìàÿòíèêà) ÿâëÿåòñÿ ýëåêòðîí â
àòîìå, êîòîðûé äâèæåòñÿ âîêðóã ÿäðà ïî ýëëèïòè÷åñêîé îðáèòå ñ ïåðèîäîì îáðàùåíèÿ
T ∼ 10
15
ñ. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî òàêîé ýëåêòðîí îäíîâðåìåííî ñîâåðøàåò äâà âçàèìíî
ïåðïåíäèêóëÿðíûõ êîëåáàíèÿ ñ ÷àñòîòîé ω
0
=2π/T∼10
16
ñ
1
.
Åñëè ÷àñòîòû äâóõ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ êîëåáàíèé íå ñîâïàäàþò, íî ÿâ-
ëÿþòñÿ êðàòíûìè: mω
02
= nω
01
, ãäå m è n  öåëûå ÷èñëà, òî òðàåêòîðèè äâèæåíèÿ ïðåä-
ñòàâëÿþò ñîáîé çàìêíóòûå êðèâûå, íàçûâàåìûå ôèãóðàìè Ëèññàæó (ðèñ. 1.9). Îòìåòèì,
÷òî îòíîøåíèå ÷àñòîò êîëåáàíèé ðàâíî îòíîøåíèþ ÷èñåë òî÷åê êàñàíèÿ ôèãóðû Ëèññà-
æó ê ñòîðîíàì ïðÿìîóãîëüíèêà, â êîòîðûé îíà âïèñàíà.
Åñëè êðàòíîñòü ìåæäó ÷àñòîòàìè îòñóòñòâóåò, òî òðàåêòîðèè íå ÿâëÿþòñÿ çàìê-
íóòûìè è ïîñòåïåííî çàïîëíÿþò âåñü ïðÿìîóãîëüíèê, íàïîìèíàÿ íèòü â êëóáêå.
Ôàçîâûé ïîðòðåò êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìû. Â ëþáîé êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìå ñ îä-
íîé ñòåïåíüþ ñâîáîäû ñìåùåíèå s(t) è ñêîðîñòü
v (t)=ds/dt ìåíÿþòñÿ ñî âðåìåíåì. Ñîñòîÿíèå ñèñ-
òåìû â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè ìîæíî õàðàêòåðè-
çîâàòü äâóìÿ çíà÷åíèÿìè s è v, è íà ïëîñêîñòè ýòèõ
ïåðåìåííûõ ýòî ñîñòîÿíèå îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò-
ñÿ ïîëîæåíèåì èçîáðàæàþùåé òî÷êè P ñ êîîðäèíà-
òàìè s è v. Ñ òå÷åíèåì âðåìåíè èçîáðàæàþùàÿ òî÷-
êà P áóäåò ïåðåìåùàòüñÿ ïî êðèâîé, êîòîðóþ íàçû-
âàþò ôàçîâîé òðàåêòîðèåé äâèæåíèÿ (ðèñ. 1.10).
Ðèñ. 1.9.
mn = 1, = 1
mn = 19, = 20
m = 1, n = 2 m = 1, n = 3
m = 3, n = 4
m = 2, n = 3
Ðèñ. 1.10.
s
v
P
14                                                        Êîëåáàíèÿ è âîëíû




      m = 1, n = 1                    m = 1, n = 2                 m = 1, n = 3




                                                                   m = 2, n = 3




                     m = 19, n = 20                                m = 3, n = 4
                                       Ðèñ. 1.9.

         Òèïè÷íûì ïðèìåðîì äâóìåðíîãî îñöèëëÿòîðà (ìàÿòíèêà) ÿâëÿåòñÿ ýëåêòðîí â
àòîìå, êîòîðûé äâèæåòñÿ âîêðóã ÿäðà ïî ýëëèïòè÷åñêîé îðáèòå ñ ïåðèîäîì îáðàùåíèÿ
T ∼ 10–15 ñ. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî òàêîé ýëåêòðîí îäíîâðåìåííî ñîâåðøàåò äâà âçàèìíî
ïåðïåíäèêóëÿðíûõ êîëåáàíèÿ ñ ÷àñòîòîé ω0 = 2π/T ∼ 1016 ñ–1.
         Åñëè ÷àñòîòû äâóõ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ êîëåáàíèé íå ñîâïàäàþò, íî ÿâ-
ëÿþòñÿ êðàòíûìè: mω02 = nω01, ãäå m è n — öåëûå ÷èñëà, òî òðàåêòîðèè äâèæåíèÿ ïðåä-
ñòàâëÿþò ñîáîé çàìêíóòûå êðèâûå, íàçûâàåìûå ôèãóðàìè Ëèññàæó (ðèñ. 1.9). Îòìåòèì,
÷òî îòíîøåíèå ÷àñòîò êîëåáàíèé ðàâíî îòíîøåíèþ ÷èñåë òî÷åê êàñàíèÿ ôèãóðû Ëèññà-
æó ê ñòîðîíàì ïðÿìîóãîëüíèêà, â êîòîðûé îíà âïèñàíà.
         Åñëè êðàòíîñòü ìåæäó ÷àñòîòàìè îòñóòñòâóåò, òî òðàåêòîðèè íå ÿâëÿþòñÿ çàìê-
íóòûìè è ïîñòåïåííî çàïîëíÿþò âåñü ïðÿìîóãîëüíèê, íàïîìèíàÿ íèòü â êëóáêå.

        Ôàçîâûé ïîðòðåò êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìû. Â ëþáîé êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìå ñ îä-
         v                         íîé ñòåïåíüþ ñâîáîäû ñìåùåíèå s(t) è ñêîðîñòü
                      P            v (t) = ds/dt ìåíÿþòñÿ ñî âðåìåíåì. Ñîñòîÿíèå ñèñ-
                                   òåìû â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè ìîæíî õàðàêòåðè-
                                   çîâàòü äâóìÿ çíà÷åíèÿìè s è v, è íà ïëîñêîñòè ýòèõ
                                   ïåðåìåííûõ ýòî ñîñòîÿíèå îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò-
                                s ñÿ ïîëîæåíèåì èçîáðàæàþùåé òî÷êè P ñ êîîðäèíà-
                                   òàìè s è v. Ñ òå÷åíèåì âðåìåíè èçîáðàæàþùàÿ òî÷-
                                   êà P áóäåò ïåðåìåùàòüñÿ ïî êðèâîé, êîòîðóþ íàçû-
           Ðèñ. 1.10.              âàþò ôàçîâîé òðàåêòîðèåé äâèæåíèÿ (ðèñ. 1.10).

Страницы