Колебания и волны. Алешкевич В.А - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Êîëåáàíèÿ è âîëíû
12
íàïðàâëåíèÿ s
1
äåôîðìàöèè ïðóæèí ñ æåñòêîñòüþ k
2
íå ïðèâîäèëè ê ñêîëüêîíèáóäü çàìåò-
íîìó âêëàäó â âîçâðàùàþùóþ ñèëó F
1
=2k
1
s
1
. Àíàëîãè÷íî, ïðè ñìåùåíèè â ïåðïåíäèêó-
ëÿðíîì íàïðàâëåíèè s
2
âîçâðàùàþùàÿ ñèëà F
2
=2k
2
s
2
. Ïðè òàêèõ óñëîâèÿõ êîëåáàíèÿ â
äâóõ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ íàïðàâëåíèÿõ ïðîèñõîäÿò íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà:
s
1
(t)=s
01
sin(ω
01
t + ϕ
1
), s
2
(t)=s
02
sin(ω
02
t + ϕ
2
). (1.19)
Çäåñü ñîáñòâåííûå ÷àñòîòû ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé ðàâíû
m
k
1
01
2
=ω
,
m
k
2
02
2
=ω
, (1.20)
à àìïëèòóäû è íà÷àëüíûå ôàçû îïðåäåëÿþòñÿ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè.
Ïðè âîçáóæäåíèè êîëåáàíèé â òàêîé ñèñòåìå ïðè ïðîèçâîëüíîì ñîîòíîøåíèè
ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò ω
01
è ω
02
òðàåêòîðèÿ êîëåáëþùåãîñÿ ãðóçà ìîæåò áûòü ÷ðåçâû÷àéíî
ñëîæíîé. Åå, â ïðèíöèïå, ìîæíî ïðîàíàëèçèðîâàòü, ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå òîò ôàêò, ÷òî
ðåçóëüòèðóþùåå äâèæåíèå ãðóçà ÿâëÿåòñÿ ñóïåðïîçèöèåé äâóõ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿð-
íûõ íåçàâèñèìûõ êîëåáàíèé.
Ðàññìîòðèì âíà÷àëå äâèæåíèå ãðóçà, åñëè ω
01
= ω
02
= ω
0
(æåñòêîñòè âñåõ ïðó-
æèí îäèíàêîâû). ×òîáû ïîëó÷èòü òðàåêòîðèþ äâèæåíèÿ, èñêëþ÷èì èç (1.19) òåêóùåå
âðåìÿ. Äëÿ ýòîãî ïåðåïèøåì (1.19) â âèäå:
s
s
tt
s
s
tt
1
01
01 01
2
02
02 02
=+
=+
sin cos cos sin ,
sin cos cos sin .
ωϕ ωϕ
ωϕ ωϕ
(1.21)
Óìíîæèì ïåðâîå óðàâíåíèå (1.21) íà cos ϕ
2
, à âòîðîå  íà cos ϕ
1
è âû÷òåì âòîðîå óðàâ-
íåíèå èç ïåðâîãî.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì:
s
s
s
s
t
1
01
2
2
02
1012
cos cos cos sin( )
ϕϕωϕϕ−= −
. (1.22à)
Òåïåðü óìíîæèì ïåðâîå óðàâíåíèå íà sin ϕ
2
, à âòîðîå  íà sin ϕ
1
, ïîâòîðèì âû÷èòàíèå è
ïîëó÷èì
s
s
s
s
t
1
01
2
2
02
1021
sin sin sin sin( )
ϕϕωϕϕ−= −
. (1.22á)
Íàêîíåö, âîçâåäåì â êâàäðàò êàæäîå èç ðàâåíñòâ (1.22) è ñëîæèì èõ. Â ðåçóëüòàòå âðåìÿ
áóäåò èñêëþ÷åíî, à óðàâíåíèå òðàåêòîðèè äâèæóùåãîñÿ ãðóçà áóäåò óðàâíåíèåì ýëëèïñà:
s
s
s
s
s
s
s
s
1
01
2
2
02
2
1
01
2
02
21
2
21
2
+
−−=−
cos( ) sin ( )
ϕϕ ϕϕ
. (1.23)
Òàêèì îáðàçîì, â îáùåì ñëó÷àå ãðóç áóäåò ñîâåðøàòü ïåðèîäè÷åñêèå äâèæåíèÿ
ïî ýëëèïòè÷åñêîé òðàåêòîðèè. Íàïðàâëåíèå äâèæåíèÿ âäîëü òðàåêòîðèè è îðèåíòàöèÿ
ýëëèïñà îòíîñèòåëüíî îñåé Os
1
è Os
2
çàâèñÿò îò íà÷àëüíîé ðàçíîñòè ôàç ∆ϕ = ϕ
2
ϕ
1
.
12                                                                        Êîëåáàíèÿ è âîëíû

íàïðàâëåíèÿ s1 äåôîðìàöèè ïðóæèí ñ æåñòêîñòüþ k2 íå ïðèâîäèëè ê ñêîëüêî–íèáóäü çàìåò-
íîìó âêëàäó â âîçâðàùàþùóþ ñèëó F1 = –2k1s1. Àíàëîãè÷íî, ïðè ñìåùåíèè â ïåðïåíäèêó-
ëÿðíîì íàïðàâëåíèè s2 âîçâðàùàþùàÿ ñèëà F2 = –2k2s2. Ïðè òàêèõ óñëîâèÿõ êîëåáàíèÿ â
äâóõ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ íàïðàâëåíèÿõ ïðîèñõîäÿò íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà:
                s1(t) = s01sin(ω01t + ϕ1),    s2(t) = s02sin(ω02t + ϕ2).      (1.19)
Çäåñü ñîáñòâåííûå ÷àñòîòû ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé ðàâíû

                                       2k1                          2k 2
                             ω01 =         ,             ω02 =           ,             (1.20)
                                        m                            m
à àìïëèòóäû è íà÷àëüíûå ôàçû îïðåäåëÿþòñÿ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè.
        Ïðè âîçáóæäåíèè êîëåáàíèé â òàêîé ñèñòåìå ïðè ïðîèçâîëüíîì ñîîòíîøåíèè
ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò ω01 è ω02 òðàåêòîðèÿ êîëåáëþùåãîñÿ ãðóçà ìîæåò áûòü ÷ðåçâû÷àéíî
ñëîæíîé. Åå, â ïðèíöèïå, ìîæíî ïðîàíàëèçèðîâàòü, ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå òîò ôàêò, ÷òî
ðåçóëüòèðóþùåå äâèæåíèå ãðóçà ÿâëÿåòñÿ ñóïåðïîçèöèåé äâóõ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿð-
íûõ íåçàâèñèìûõ êîëåáàíèé.
        Ðàññìîòðèì âíà÷àëå äâèæåíèå ãðóçà, åñëè ω01 = ω02 = ω0 (æåñòêîñòè âñåõ ïðó-
æèí îäèíàêîâû). ×òîáû ïîëó÷èòü òðàåêòîðèþ äâèæåíèÿ, èñêëþ÷èì èç (1.19) òåêóùåå
âðåìÿ. Äëÿ ýòîãî ïåðåïèøåì (1.19) â âèäå:

                               s1
                                  = sin ω 0 t cos ϕ1 + cos ω 0 t sin ϕ1 ,
                              s01
                              s2                                                       (1.21)
                                  = sin ω 0 t cos ϕ 2 + cos ω 0 t sin ϕ 2 .
                              s02

Óìíîæèì ïåðâîå óðàâíåíèå (1.21) íà cos ϕ2, à âòîðîå — íà cos ϕ1 è âû÷òåì âòîðîå óðàâ-
íåíèå èç ïåðâîãî.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì:
                      s1           s
                         cos ϕ 2 − 2 cos ϕ1 = cos ω 0 t sin(ϕ1 − ϕ 2 ) .              (1.22à)
                     s01          s02
Òåïåðü óìíîæèì ïåðâîå óðàâíåíèå íà sin ϕ2, à âòîðîå — íà sin ϕ1, ïîâòîðèì âû÷èòàíèå è
ïîëó÷èì
                          s1           s
                             sin ϕ 2 − 2 sin ϕ 1 = sin ω 0 t sin( ϕ 2 − ϕ1 ) .        (1.22á)
                         s01          s02

Íàêîíåö, âîçâåäåì â êâàäðàò êàæäîå èç ðàâåíñòâ (1.22) è ñëîæèì èõ. Â ðåçóëüòàòå âðåìÿ
áóäåò èñêëþ÷åíî, à óðàâíåíèå òðàåêòîðèè äâèæóùåãîñÿ ãðóçà áóäåò óðàâíåíèåì ýëëèïñà:
                     2             2
                s  s         s s                     2
                1  +  2  − 2 1 2 cos(ϕ 2 − ϕ1 ) = sin (ϕ 2 − ϕ1 ) .                (1.23)
                s01   s02   s01 s02

        Òàêèì îáðàçîì, â îáùåì ñëó÷àå ãðóç áóäåò ñîâåðøàòü ïåðèîäè÷åñêèå äâèæåíèÿ
ïî ýëëèïòè÷åñêîé òðàåêòîðèè. Íàïðàâëåíèå äâèæåíèÿ âäîëü òðàåêòîðèè è îðèåíòàöèÿ
ýëëèïñà îòíîñèòåëüíî îñåé Os1 è Os2 çàâèñÿò îò íà÷àëüíîé ðàçíîñòè ôàç ∆ϕ = ϕ2 – ϕ1.

Страницы