Колебания и волны. Алешкевич В.А - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

11
Ëåêöèÿ 1
òî àìïëèòóäó s
0
è íà÷àëüíóþ ôàçó ϕ
0
ñóììàðíîãî êîëåáàíèÿ s(t) ñ òîé æå ÷àñòîòîé ω
0
ìîæíî ëåãêî ðàññ÷èòàòü èç ðèñ. 1.6à, íà êîòîðîì ãðàôè÷åñêè èçîáðàæåíà îïåðàöèÿ ñëî-
æåíèÿ âåêòîðîâ s
0
= s
01
+ s
02
â ìîìåíò âðåìåíè t = 0:
ss s s s
0011022
2
01 1 02 2
2
=+++
(cos cos) (sin sin)
ϕϕ ϕϕ
,
ϕ
ϕϕ
ϕϕ
0
01 1 02 2
01 1 02 2
=
+
+
arctg
sin sin
cos cos
ss
ss
.
ßñíî, ÷òî âåðòèêàëüíàÿ ïðîåêöèÿ âåêòîðà s
0
áóäåò òàêæå èçìåíÿòüñÿ ïî ãàðìî-
íè÷åñêîìó çàêîíó ñ ÷àñòîòîé ω
0
, ïîñêîëüêó âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå âåêòîðîâ s
01
è s
02
íå
èçìåíÿåòñÿ ñ òå÷åíèåì âðåìåíè.
Èç ýòîé äèàãðàììû íàãëÿäíî âèäíî, ÷òî ñóììàðíîå êîëåáàíèå s(t) îïåðåæàåò ïî
ôàçå êîëåáàíèå s
1
(t) è îòñòàåò ïî ôàçå îò êîëåáàíèÿ s
2
(t). Ïîëíàÿ ôàçà äëÿ êàæäîãî èç
òðåõ êîëåáàíèé â ïðîèçâîëüíûé ìîìåíò âðåìåíè îòëè÷àåòñÿ îò èõ íà÷àëüíûõ ôàç íà
îäíó è òó æå âåëè÷èíó ω
0
t, êîòîðóþ ïðè ïîñòðîåíèè âåêòîðíûõ äèàãðàìì íå ó÷èòûâàþò.
Ïðè ýòîì êîëåáàíèå èçîáðàæàåòñÿ íåïîäâèæíûì âåêòîðîì (ðèñ. 1.6á), à ÷àñòîòà êîëåáà-
íèÿ ïðåäïîëàãàåòñÿ èçâåñòíîé.
Ñëîæåíèå âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ êîëåáàíèé. Ðàññìîòðèì êîëåáàòåëü-
íóþ ñèñòåìó, ñîñòîÿùóþ èç òî÷å÷íîãî ãðóçà ìàññû
m è ÷åòûðåõ ñâÿçàííûõ ñ íèì ïðóæèí (ðèñ. 1.7) 
óñëîæíåííûé âàðèàíò ðàññìîòðåííîãî âûøå ïðóæèí-
íîãî ìàÿòíèêà.
Åñëè ìàññà äâèæåòñÿ ïî ãëàäêîé ãîðèçîíòàëü-
íîé ïîâåðõíîñòè (íà ðèñóíêå ïîêàçàí âèä ñâåðõó), òî åå
ìãíîâåííîå ðàñïîëîæåíèå îïèñûâàåòñÿ äâóìÿ ñìåùå-
íèÿìè èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ  òî÷êè Î: s
1
(t) è s
2
(t).
Òàêàÿ ñèñòåìà îáëàäàåò äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. Áó-
äåì ñ÷èòàòü ñìåùåíèÿ ìàëûìè, ÷òîáû, âîïåðâûõ, âû-
ïîëíÿëñÿ çàêîí Ãóêà, è, âîâòîðûõ, ïðè ñìåùåíèè âäîëü
Ðèñ. 1.6à. Ðèñ. 1.6á.
j
0
st ()
2
j
1
j
2
st
()
1
st()
s
s
s
0
02
01
0
j
s
0
Ðèñ. 1.7.
k
m
s
1
s
2
k
2
1
k
1
k
2
O
Ëåêöèÿ 1                                                                                      11

                                             s0

                         s 02
                                                                                       s0
            s2 (t)                                  s(t)
                                                                                 j0
                                  s 01 j0
       j2
                 j1                s1(t)

                      Ðèñ. 1.6à.                                                 Ðèñ. 1.6á.
òî àìïëèòóäó s0 è íà÷àëüíóþ ôàçó ϕ0 ñóììàðíîãî êîëåáàíèÿ s(t) ñ òîé æå ÷àñòîòîé ω0
ìîæíî ëåãêî ðàññ÷èòàòü èç ðèñ. 1.6à, íà êîòîðîì ãðàôè÷åñêè èçîáðàæåíà îïåðàöèÿ ñëî-
æåíèÿ âåêòîðîâ s0 = s01 + s02 â ìîìåíò âðåìåíè t = 0:

                     s0 = ( s01 cos ϕ1 + s02 cos ϕ 2 ) 2 + ( s01 sin ϕ1 + s02 sin ϕ 2 ) 2 ,

                                                  s01 sin ϕ 1 + s02 sin ϕ 2
                                   ϕ 0 = arctg                              .
                                                  s01 cos ϕ 1 + s02 cos ϕ 2

        ßñíî, ÷òî âåðòèêàëüíàÿ ïðîåêöèÿ âåêòîðà s0 áóäåò òàêæå èçìåíÿòüñÿ ïî ãàðìî-
íè÷åñêîìó çàêîíó ñ ÷àñòîòîé ω0, ïîñêîëüêó âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå âåêòîðîâ s01 è s02 íå
èçìåíÿåòñÿ ñ òå÷åíèåì âðåìåíè.
        Èç ýòîé äèàãðàììû íàãëÿäíî âèäíî, ÷òî ñóììàðíîå êîëåáàíèå s(t) îïåðåæàåò ïî
ôàçå êîëåáàíèå s1(t) è îòñòàåò ïî ôàçå îò êîëåáàíèÿ s2(t). Ïîëíàÿ ôàçà äëÿ êàæäîãî èç
òðåõ êîëåáàíèé â ïðîèçâîëüíûé ìîìåíò âðåìåíè îòëè÷àåòñÿ îò èõ íà÷àëüíûõ ôàç íà
îäíó è òó æå âåëè÷èíó ω0t, êîòîðóþ ïðè ïîñòðîåíèè âåêòîðíûõ äèàãðàìì íå ó÷èòûâàþò.
Ïðè ýòîì êîëåáàíèå èçîáðàæàåòñÿ íåïîäâèæíûì âåêòîðîì (ðèñ. 1.6á), à ÷àñòîòà êîëåáà-
íèÿ ïðåäïîëàãàåòñÿ èçâåñòíîé.


         Ñëîæåíèå âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ êîëåáàíèé. Ðàññìîòðèì êîëåáàòåëü-
            s2                 íóþ ñèñòåìó, ñîñòîÿùóþ èç òî÷å÷íîãî ãðóçà ìàññû
                               m è ÷åòûðåõ ñâÿçàííûõ ñ íèì ïðóæèí (ðèñ. 1.7) —
                               óñëîæíåííûé âàðèàíò ðàññìîòðåííîãî âûøå ïðóæèí-
           k2
                               íîãî ìàÿòíèêà.
      k1        m     k1   s1          Åñëè ìàññà äâèæåòñÿ ïî ãëàäêîé ãîðèçîíòàëü-
                               íîé ïîâåðõíîñòè (íà ðèñóíêå ïîêàçàí âèä ñâåðõó), òî åå
           O                   ìãíîâåííîå ðàñïîëîæåíèå îïèñûâàåòñÿ äâóìÿ ñìåùå-
          k2                   íèÿìè èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ — òî÷êè Î: s1(t) è s2(t).
                               Òàêàÿ ñèñòåìà îáëàäàåò äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. Áó-
                               äåì ñ÷èòàòü ñìåùåíèÿ ìàëûìè, ÷òîáû, âî–ïåðâûõ, âû-
            Ðèñ. 1.7.          ïîëíÿëñÿ çàêîí Ãóêà, è, âî–âòîðûõ, ïðè ñìåùåíèè âäîëü

Страницы