Колебания и волны. Алешкевич В.А - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

9
Ëåêöèÿ 1
Äëÿ ìàëûõ óãëîâ îòêëîíåíèÿ óðàâíåíèå (1.12) ïåðåõîäèò â óðàâíåíèå ãàðìî-
íè÷åñêèõ êîëåáàíèé
,
J
mga
dt
d
α−=
α
2
2
(1.13)
èç âèäà êîòîðîãî ñðàçó ÿñíî, ÷òî ÷àñòîòà ω
0
è ïåðèîä Ò êîëåáàíèé ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû
ω
0
2
=
mga
J
;
mga
J
T π= 2
. (1.14)
Ñðàâíèâàÿ âûðàæåíèÿ äëÿ ïåðèîäà êîëåáàíèé ôèçè÷åñêîãî (1.14) è ìàòåìàòè-
÷åñêîãî (1.11) ìàÿòíèêîâ, ëåãêî âèäåòü, ÷òî îáà ïåðèîäà ñîâïàäàþò, åñëè
l=
ma
J
. (1.15)
Ïîýòîìó ôèçè÷åñêèé ìàÿòíèê õàðàêòåðèçóåòñÿ ïðèâåäåííîé äëèíîé (1.15), êîòîðàÿ
ðàâíà äëèíå ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà ñ òàêèì æå ïåðèîäîì êîëåáàíèé.
Ïåðèîä êîëåáàíèé ôèçè÷åñêîãî ìàÿòíèêà (à, ñëåäîâàòåëüíî, è åãî ïðèâåäåííàÿ
äëèíà l) íåìîíîòîííî çàâèñèò îò ðàññòîÿíèÿ à. Ýòî ëåãêî çàìåòèòü, åñëè â ñîîòâåòñòâèè
ñ òåîðåìîé ÃþéãåíñàØòåéíåðà ìîìåíò èíåðöèè J âûðàçèòü ÷åðåç ìîìåíò èíåðöèè J
0
îòíîñèòåëüíî ïàðàëëåëüíîé ãîðèçîíòàëüíîé îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð ìàññ:
J = J
0
+ ma
2
. Òîãäà ïåðèîä êîëåáàíèé (1.14) áóäåò ðàâåí:
mga
maJ
T
2
0
2
+
π=
. (1.16)
Èçìåíåíèå ïåðèîäà êîëåáàíèé ïðè óäàëåíèè îñè âðàùåíèÿ îò öåíòðà ìàññ O â îáå
ñòîðîíû íà ðàññòîÿíèå à ïîêàçàíî íà ðèñ. 1.3.
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî îäèí è òîò æå
ïåðèîä êîëåáàíèé ìîæåò ðåàëèçîâàòüñÿ
îòíîñèòåëüíî ëþáîé èç ÷åòûðåõ îñåé, ðàñ-
ïîëîæåííûõ ïîïàðíî ïî ðàçíûå ñòîðîíû
îò öåíòðà ìàññ. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ñóì-
ìà ðàññòîÿíèé
+
1
a
è
+
2
a
ðàâíà ïðèâåäåííîé
äëèíå ôèçè÷åñêîãî ìàÿòíèêà:
++
+=
21
aal
.
 ñèëó ñèììåòðèè ãðàôèêà ÿñíî, ÷òî
−+
+=
12
aal
. (1.17)
Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ïîçâîëÿåò äëÿ ëþáîé îñè âðàùåíèÿ O
+
îïðåäåëèòü ñîïðÿæåííóþ
îñü O
. Ïåðèîä êîëåáàíèé îòíîñèòåëüíî ýòèõ îñåé îäèíàêîâ, à ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè
ðàâíî ïðèâåäåííîé äëèíå ôèçè÷åñêîãî ìàÿòíèêà.
Íà ðèñ. 1.4 èçîáðàæåíû ïîëîæåíèÿ îñåé O
+
è O
, ïðè ýòîì îñü âðàùåíèÿ, óäà-
ëåííàÿ íà ðàññòîÿíèå
−
2
a
, ïðè òàêîé ôîðìå ìàÿòíèêà íàõîäèòñÿ âíå åãî.
Ðèñ. 1.3.
a
O
1
a
2
aaa
+
2
a
+
1
l
T
Ëåêöèÿ 1                                                                                               9
       Äëÿ ìàëûõ óãëîâ îòêëîíåíèÿ óðàâíåíèå (1.12) ïåðåõîäèò â óðàâíåíèå ãàðìî-
íè÷åñêèõ êîëåáàíèé

                                                 d 2α         mga
                                                        =−        α,                               (1.13)
                                                 dt 2          J
èç âèäà êîòîðîãî ñðàçó ÿñíî, ÷òî ÷àñòîòà ω0 è ïåðèîä Ò êîëåáàíèé ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû

                                         mga                                J
                                ω 20 =       ;                  T = 2π         .                   (1.14)
                                          J                                mga

        Ñðàâíèâàÿ âûðàæåíèÿ äëÿ ïåðèîäà êîëåáàíèé ôèçè÷åñêîãî (1.14) è ìàòåìàòè-
÷åñêîãî (1.11) ìàÿòíèêîâ, ëåãêî âèäåòü, ÷òî îáà ïåðèîäà ñîâïàäàþò, åñëè
                                                        J
                                                           = l.                                    (1.15)
                                                        ma
Ïîýòîìó ôèçè÷åñêèé ìàÿòíèê õàðàêòåðèçóåòñÿ ïðèâåäåííîé äëèíîé (1.15), êîòîðàÿ
ðàâíà äëèíå ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà ñ òàêèì æå ïåðèîäîì êîëåáàíèé.
         Ïåðèîä êîëåáàíèé ôèçè÷åñêîãî ìàÿòíèêà (à, ñëåäîâàòåëüíî, è åãî ïðèâåäåííàÿ
äëèíà l) íåìîíîòîííî çàâèñèò îò ðàññòîÿíèÿ à. Ýòî ëåãêî çàìåòèòü, åñëè â ñîîòâåòñòâèè
ñ òåîðåìîé Ãþéãåíñà–Øòåéíåðà ìîìåíò èíåðöèè J âûðàçèòü ÷åðåç ìîìåíò èíåðöèè J0
îòíîñèòåëüíî ïàðàëëåëüíîé ãîðèçîíòàëüíîé îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð ìàññ:
J = J0 + ma2. Òîãäà ïåðèîä êîëåáàíèé (1.14) áóäåò ðàâåí:

                                                            J 0 + ma 2
                                          T = 2π                       .                           (1.16)
                                                               mga

       Èçìåíåíèå ïåðèîäà êîëåáàíèé ïðè óäàëåíèè îñè âðàùåíèÿ îò öåíòðà ìàññ O â îáå
ñòîðîíû íà ðàññòîÿíèå à ïîêàçàíî íà ðèñ. 1.3.
                 T                                   Ëåãêî âèäåòü, ÷òî îäèí è òîò æå
                                             ïåðèîä êîëåáàíèé ìîæåò ðåàëèçîâàòüñÿ
                                             îòíîñèòåëüíî ëþáîé èç ÷åòûðåõ îñåé, ðàñ-
                         l                   ïîëîæåííûõ ïîïàðíî ïî ðàçíûå ñòîðîíû
                                             îò öåíòðà ìàññ. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ñóì-
                                                                                    +
                                                              ìà ðàññòîÿíèé a1+ è a 2 ðàâíà ïðèâåäåííîé
a     a   –
          2     a O
                 –
                 1      a   +
                            1            a   +
                                             2          a
                                                              äëèíå ôèçè÷åñêîãî ìàÿòíèêà: l = a1+ + a 2+ .
                Ðèñ. 1.3.
                                                              Â ñèëó ñèììåòðèè ãðàôèêà ÿñíî, ÷òî

                                                  l = a 2+ + a1− .                                 (1.17)
Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ïîçâîëÿåò äëÿ ëþáîé îñè âðàùåíèÿ O+ îïðåäåëèòü ñîïðÿæåííóþ
îñü O–. Ïåðèîä êîëåáàíèé îòíîñèòåëüíî ýòèõ îñåé îäèíàêîâ, à ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè
ðàâíî ïðèâåäåííîé äëèíå ôèçè÷åñêîãî ìàÿòíèêà.
        Íà ðèñ. 1.4 èçîáðàæåíû ïîëîæåíèÿ îñåé O+ è O–, ïðè ýòîì îñü âðàùåíèÿ, óäà-
ëåííàÿ íà ðàññòîÿíèå a 2− , ïðè òàêîé ôîðìå ìàÿòíèêà íàõîäèòñÿ âíå åãî.

Страницы