Колебания и волны. Алешкевич В.А - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Êîëåáàíèÿ è âîëíû
8
×òîáû âîçáóäèòü ñîáñòâåííûå êîëåáàíèÿ, íàäî âíà÷àëå (ïðè t = 0) ëèáî îòêëîíèòü
òåëî (çàäàòü íà÷àëüíîå ñìåùåíèå s(0)), ëèáî òîëêíóòü åãî (çàäàòü íà÷àëüíóþ ñêîðîñòü
ds
dt
(0) = v (0)), ëèáî ñäåëàòü è òî, è äðóãîå îäíîâðåìåííî. Çíàíèå íà÷àëüíûõ óñëîâèé
(ñìåùåíèÿ è ñêîðîñòè) ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü àìïëèòóäó s
0
è íà÷àëüíóþ ôàçó êîëåáàíèé ϕ
0
èç î÷åâèäíûõ óðàâíåíèé:
sst s t s
t
t
() () sin( ) sin0
0
000
0
00
== +=
=
=
ωϕ ϕ
; (1.8)
v() cos( ) cos0
0
00 0 0
0
00 0
== + =
=
=
ds
dt
st s
t
t
ωωϕ ωϕ
. (1.9)
Ðåøåíèå ýòèõ óðàâíåíèé èìååò âèä:
ss
0
2
2
0
2
0
0
=+
()
()
v
ω
;
ϕ
ω
0
0
0
0
=
arctg
()
()
s
v
. (1.10)
Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî àìïëèòóäà êîëåáàíèé s
0
, ðàâíàÿ âåëè÷èíå ìàêñèìàëü-
íîãî ñìåùåíèÿ òåëà îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, ìîæåò ïðå-
âîñõîäèòü íà÷àëüíîå ñìåùåíèå s(0) ïðè íàëè÷èè íà÷àëüíî-
ãî òîë÷êà.
Íàðÿäó ñ êðóãîâîé ÷àñòîòîé ω
0
êîëåáàíèÿ õàðàêòåðè-
çóþòñÿ öèêëè÷åñêîé ÷àñòîòîé ν
0
= ω
0
/2π, ðàâíîé ÷èñëó êîëå-
áàíèé çà åäèíèöó âðåìåíè, è ïåðèîäîì êîëåáàíèé
T =1/ν
0
, ðàâíûì äëèòåëüíîñòè îäíîãî êîëåáàíèÿ.
Ïåðèîä ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé (ðàâíî êàê è ÷àñòî-
òû ω
0
è ν
0
) íå çàâèñèò îò íà÷àëüíûõ óñëîâèé è ðàâåí
,
g
T
l
π=
2
k
m
T π= 2
. (1.11)
Äðóãèì ïðèìåðîì ÿâëÿþòñÿ êîëåáàíèÿ ôèçè÷åñêîãî ìàÿòíèêà  òåëà ïðîèç-
âîëüíîé ôîðìû ìàññû m, çàêðåïëåííîãî íà ãîðèçîíòàëüíîé îñè O´ òàê, ÷òî åãî öåíòð
ìàññ íàõîäèòñÿ â òî÷êå O, óäàëåííîé îò îñè íà ðàññòîÿíèå à. Ïðè îòêëîíåíèè ìàÿòíèêà
îò âåðòèêàëè íà íåáîëüøîé óãîë α îí áóäåò ñîâåðøàòü ñâîáîäíûå ãàðìîíè÷åñêèå êîëå-
áàíèÿ ïîä äåéñòâèåì ñèëû òÿæåñòè, ïðèëîæåííîé ê öåíòðó ìàññ (ðèñ. 1.2).
Åñëè èçâåñòåí ìîìåíò èíåðöèè òåëà J îòíîñèòåëüíî îñè âðàùåíèÿ, òî óðàâíå-
íèå âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ çàïèøåòñÿ â âèäå
.sinmgaM
dt
d
J α−==
α
2
2
(1.12)
Åñëè ñ÷èòàòü, ÷òî ïðè âðàùåíèè, íàïðèìåð, ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè óãîë α óâåëè÷èâàåòñÿ,
òî ìîìåíò ñèëû òÿæåñòè Ì âûçûâàåò óìåíüøåíèå ýòîãî óãëà è, ñëåäîâàòåëüíî, ïðè α>0
ìîìåíò M < 0. Ýòî è îòðàæàåò çíàê ìèíóñ â ïðàâîé ÷àñòè (1.12).
Ðèñ. 1.2.
a
a
O
mg
O ´
8                                                                              Êîëåáàíèÿ è âîëíû

        ×òîáû âîçáóäèòü ñîáñòâåííûå êîëåáàíèÿ, íàäî âíà÷àëå (ïðè t = 0) ëèáî îòêëîíèòü
òåëî (çàäàòü íà÷àëüíîå ñìåùåíèå s(0)), ëèáî òîëêíóòü åãî (çàäàòü íà÷àëüíóþ ñêîðîñòü
ds
   (0) = v (0)), ëèáî ñäåëàòü è òî, è äðóãîå îäíîâðåìåííî. Çíàíèå íà÷àëüíûõ óñëîâèé
dt
(ñìåùåíèÿ è ñêîðîñòè) ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü àìïëèòóäó s0 è íà÷àëüíóþ ôàçó êîëåáàíèé ϕ0
èç î÷åâèäíûõ óðàâíåíèé:
                     s(0) = s(t ) t = 0 = s0 sin(ω 0 t + ϕ 0 )          = s0 sin ϕ 0;        (1.8)
                                                                 t =0

                            ds
                   v(0) =            = s0 ω 0 cos(ω 0 t + ϕ 0 )      = s0ω 0 cos ϕ 0.        (1.9)
                            dt t = 0                            t =0

        Ðåøåíèå ýòèõ óðàâíåíèé èìååò âèä:

                                        v 2 (0)                               ω 0 s( 0)
                     s0 = s 2 (0) +               ;       ϕ 0 = arctg                   .   (1.10)
                                         ω 20                                  v ( 0)

       Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî àìïëèòóäà êîëåáàíèé s 0, ðàâíàÿ âåëè÷èíå ìàêñèìàëü-
                     íîãî ñìåùåíèÿ òåëà îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, ìîæåò ïðå-
                     âîñõîäèòü íà÷àëüíîå ñìåùåíèå s(0) ïðè íàëè÷èè íà÷àëüíî-
    O´
                     ãî òîë÷êà.
                              Íàðÿäó ñ êðóãîâîé ÷àñòîòîé ω0 êîëåáàíèÿ õàðàêòåðè-
       a
         a           çóþòñÿ öèêëè÷åñêîé ÷àñòîòîé ν0 = ω0 / 2π, ðàâíîé ÷èñëó êîëå-
                     áàíèé çà åäèíèöó âðåìåíè, è ïåðèîäîì êîëåáàíèé
         O           T = 1 / ν0, ðàâíûì äëèòåëüíîñòè îäíîãî êîëåáàíèÿ.
                              Ïåðèîä ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé (ðàâíî êàê è ÷àñòî-
           mg        òû ω0 è ν0) íå çàâèñèò îò íà÷àëüíûõ óñëîâèé è ðàâåí
       Ðèñ. 1.2.
                                           l                            m
                               T = 2π        ,           T = 2π           .                 (1.11)
                                           g                            k

        Äðóãèì ïðèìåðîì ÿâëÿþòñÿ êîëåáàíèÿ ôèçè÷åñêîãî ìàÿòíèêà — òåëà ïðîèç-
âîëüíîé ôîðìû ìàññû m, çàêðåïëåííîãî íà ãîðèçîíòàëüíîé îñè O´ òàê, ÷òî åãî öåíòð
ìàññ íàõîäèòñÿ â òî÷êå O, óäàëåííîé îò îñè íà ðàññòîÿíèå à. Ïðè îòêëîíåíèè ìàÿòíèêà
îò âåðòèêàëè íà íåáîëüøîé óãîë α îí áóäåò ñîâåðøàòü ñâîáîäíûå ãàðìîíè÷åñêèå êîëå-
áàíèÿ ïîä äåéñòâèåì ñèëû òÿæåñòè, ïðèëîæåííîé ê öåíòðó ìàññ (ðèñ. 1.2).
        Åñëè èçâåñòåí ìîìåíò èíåðöèè òåëà J îòíîñèòåëüíî îñè âðàùåíèÿ, òî óðàâíå-
íèå âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ çàïèøåòñÿ â âèäå

                                        d 2α
                                    J           = M = − mga sin α.                          (1.12)
                                        dt 2
Åñëè ñ÷èòàòü, ÷òî ïðè âðàùåíèè, íàïðèìåð, ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè óãîë α óâåëè÷èâàåòñÿ,
òî ìîìåíò ñèëû òÿæåñòè Ì âûçûâàåò óìåíüøåíèå ýòîãî óãëà è, ñëåäîâàòåëüíî, ïðè α > 0
ìîìåíò M < 0. Ýòî è îòðàæàåò çíàê ìèíóñ â ïðàâîé ÷àñòè (1.12).

Страницы