Колебания и волны. Алешкевич В.А - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

7
Ëåêöèÿ 1
 ïåðâîì óðàâíåíèè èñïîëüçîâàíà ïðîåêöèÿ F
τ
(s) ðåçóëüòèðóþùåé ñèëû F íà
íàïðàâëåíèå ñêîðîñòè â âèäå F
τ
=mgsinα =mgsin(s/l).
 ðàññìàòðèâàåìûõ ïðèìåðàõ âîçâðàùàþùàÿ ñèëà F
τ
(s) ÿâëÿåòñÿ, âîîáùå ãî-
âîðÿ, íåëèíåéíîé ôóíêöèåé ñìåùåíèÿ s. Ïîýòîìó òî÷íîå ðåøåíèå óðàâíåíèé (1.2), êî-
òîðûå ÿâëÿþòñÿ íåëèíåéíûìè, ïîëó÷èòü íå óäàåòñÿ. Äàëåå ìû ðàññìîòðèì íåêîòîðûå
ïðèìåðû òàêèõ íåëèíåéíûõ êîëåáàíèé.
Çäåñü æå ìû áóäåì ñ÷èòàòü ñìåùåíèÿ ìàëûìè ïî ñðàâíåíèþ ñ äëèíîé íèòè èëè
äëèíîé íåäåôîðìèðîâàííîé ïðóæèíû. Ïðè òàêèõ ïðåäïîëîæåíèÿõ âîçâðàùàþùàÿ ñèëà
ïðîïîðöèîíàëüíà ñìåùåíèþ:
Fs mg
s
τ
()
=−
l
;
Fs ks
τ
()
=−
. (1.3)
Âûðàæåíèå ñëåâà çàïèñàíî ïðè ó÷åòå óñëîâèÿ sin(s/l) ≈ s/l, à ñïðàâà  ñ èñïîëüçî-
âàíèåì çàêîíà Ãóêà, ñïðàâåäëèâîãî ïðè ìàëûõ äåôîðìàöèÿõ ïðóæèíû ñ æåñòêîñòüþ k.
Ñ ó÷åòîì (1.3) óðàâíåíèÿ (1.2) ïðèìóò îäèíàêîâûé âèä:
ds
dt
g
s
2
2
=−
l
;
ds
dt
k
m
s
2
2
=−
. (1.4)
Ðàçëè÷àþòñÿ ëèøü êîýôôèöèåíòû â ïðàâûõ ÷àñòÿõ ýòèõ óðàâíåíèé, êîòîðûå ÷èñëåííî
ðàâíû îòíîøåíèþ âîçâðàùàþùåé ñèëû ïðè åäèíè÷íîì ñìåùåíèè ê ìàññå êîëåáëþùåãîñÿ
òåëà è èìåþò ðàçìåðíîñòü [c
2
]. Åñëè èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèÿ
ω
0
2
=
g
l
,
ω
0
2
=
k
m
, (1.5)
òî óðàâíåíèÿ (1.4) ïðèìóò âèä óðàâíåíèÿ íåçàòóõàþùèõ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé, èëè
óðàâíåíèÿ ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà:
s
dt
sd
2
0
2
2
ω−=
. (1.6)
Ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (1.6) ÿâëÿåòñÿ ñåìåéñòâî ãàðìîíè÷åñêèõ ôóíêöèé
st s t() sin( )=+
000
ωϕ
, (1.7)
â ÷åì ëåãêî óáåäèòüñÿ, äâàæäû ïðîäèôôåðåíöèðîâàâ ôóíêöèþ s(t) ïî âðåìåíè:
ds
dt
st=+
00 0 0
ωωϕ
cos( )
,
ds
dt
st
2
2
00
2
00
=− +ωωϕ
sin( )
.
Çàìåòèì, ÷òî åñëè óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ïðèâîäèòñÿ ê âèäó (1.6), òî åãî ðåøåíè-
åì ÿâëÿþòñÿ ãàðìîíè÷åñêèå ôóíêöèè (1.7) ñ ÷àñòîòîé ω
0
, ðàâíîé êîðíþ êâàäðàòíîìó èç
êîýôôèöèåíòà ïðè s.
Çíà÷åíèÿ ýòèõ ãàðìîíè÷åñêèõ ôóíêöèé â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè
(ïðè t = 0) îïðåäåëÿþòñÿ íà÷àëüíîé ôàçîé ϕ
0
(ñì. íèæå) è àìïëèòóäîé êîëåáàíèé s
0
.
Ó îäíîé è òîé æå ñèñòåìû ýòè çíà÷åíèÿ ìîãóò áûòü ðàçëè÷íûìè ïðè ðàçíûõ ñïîñî-
áàõ âîçáóæäåíèÿ êîëåáàíèé.
Ëåêöèÿ 1                                                                                7
        Â ïåðâîì óðàâíåíèè èñïîëüçîâàíà ïðîåêöèÿ Fτ(s) ðåçóëüòèðóþùåé ñèëû F íà
íàïðàâëåíèå ñêîðîñòè â âèäå Fτ = –mgsinα = –mgsin(s/l).
        Â ðàññìàòðèâàåìûõ ïðèìåðàõ âîçâðàùàþùàÿ ñèëà Fτ(s) ÿâëÿåòñÿ, âîîáùå ãî-
âîðÿ, íåëèíåéíîé ôóíêöèåé ñìåùåíèÿ s. Ïîýòîìó òî÷íîå ðåøåíèå óðàâíåíèé (1.2), êî-
òîðûå ÿâëÿþòñÿ íåëèíåéíûìè, ïîëó÷èòü íå óäàåòñÿ. Äàëåå ìû ðàññìîòðèì íåêîòîðûå
ïðèìåðû òàêèõ íåëèíåéíûõ êîëåáàíèé.
        Çäåñü æå ìû áóäåì ñ÷èòàòü ñìåùåíèÿ ìàëûìè ïî ñðàâíåíèþ ñ äëèíîé íèòè èëè
äëèíîé íåäåôîðìèðîâàííîé ïðóæèíû. Ïðè òàêèõ ïðåäïîëîæåíèÿõ âîçâðàùàþùàÿ ñèëà
ïðîïîðöèîíàëüíà ñìåùåíèþ:
                                          s
                            Fτ ( s) = − mg ;               Fτ ( s) = − ks .          (1.3)
                                          l
        Âûðàæåíèå ñëåâà çàïèñàíî ïðè ó÷åòå óñëîâèÿ sin(s/l) ≈ s/l, à ñïðàâà — ñ èñïîëüçî-
âàíèåì çàêîíà Ãóêà, ñïðàâåäëèâîãî ïðè ìàëûõ äåôîðìàöèÿõ ïðóæèíû ñ æåñòêîñòüþ k.
        Ñ ó÷åòîì (1.3) óðàâíåíèÿ (1.2) ïðèìóò îäèíàêîâûé âèä:

                             d 2s     g                  d 2s           k
                                2 = −   s;                     2   =−     s.         (1.4)
                             dt       l                  dt             m
Ðàçëè÷àþòñÿ ëèøü êîýôôèöèåíòû â ïðàâûõ ÷àñòÿõ ýòèõ óðàâíåíèé, êîòîðûå ÷èñëåííî
ðàâíû îòíîøåíèþ âîçâðàùàþùåé ñèëû ïðè åäèíè÷íîì ñìåùåíèè ê ìàññå êîëåáëþùåãîñÿ
òåëà è èìåþò ðàçìåðíîñòü [c–2]. Åñëè èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèÿ
                                               g         k
                                      ω 20 =     , ω 20 = ,                          (1.5)
                                               l         m
òî óðàâíåíèÿ (1.4) ïðèìóò âèä óðàâíåíèÿ íåçàòóõàþùèõ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé, èëè
óðàâíåíèÿ ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà:

                                          d 2s
                                                  = −ω02 s .                         (1.6)
                                           dt 2
Ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (1.6) ÿâëÿåòñÿ ñåìåéñòâî ãàðìîíè÷åñêèõ ôóíêöèé
                                    s( t ) = s0 sin(ω 0 t + ϕ 0 ) ,                  (1.7)
â ÷åì ëåãêî óáåäèòüñÿ, äâàæäû ïðîäèôôåðåíöèðîâàâ ôóíêöèþ s(t) ïî âðåìåíè:

                  ds                            d 2s
                     = s0ω 0 cos(ω 0 t + ϕ 0 ) , 2 = − s0 ω 02 sin(ω 0 t + ϕ 0 ) .
                  dt                            dt
         Çàìåòèì, ÷òî åñëè óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ïðèâîäèòñÿ ê âèäó (1.6), òî åãî ðåøåíè-
åì ÿâëÿþòñÿ ãàðìîíè÷åñêèå ôóíêöèè (1.7) ñ ÷àñòîòîé ω0, ðàâíîé êîðíþ êâàäðàòíîìó èç
êîýôôèöèåíòà ïðè s.
         Çíà÷åíèÿ ýòèõ ãàðìîíè÷åñêèõ ôóíêöèé â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè
(ïðè t = 0) îïðåäåëÿþòñÿ íà÷àëüíîé ôàçîé ϕ0 (ñì. íèæå) è àìïëèòóäîé êîëåáàíèé s 0.
Ó îäíîé è òîé æå ñèñòåìû ýòè çíà÷åíèÿ ìîãóò áûòü ðàçëè÷íûìè ïðè ðàçíûõ ñïîñî-
áàõ âîçáóæäåíèÿ êîëåáàíèé.

Страницы