Колебания и волны. Алешкевич В.А - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Êîëåáàíèÿ è âîëíû
6
Íåçàòóõàþùèå ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ ñèñòåì ñ îäíîé ñòåïåíüþ ñâîáî-
äû. Åñëè ïîëîæåíèå ñèñòåìû ìîæåò áûòü îïèñàíî îäíèì åäèíñòâåííûì ïàðàìåòðîì
f(t), çàâèñÿùèì îò âðåìåíè, òî òàêàÿ ñèñòåìà èìååò îäíó ñòåïåíü ñâîáîäû. Ïðèìåðàìè
òàêèõ ñèñòåì ÿâëÿþòñÿ õîðîøî èçâåñòíûå èç øêîëüíîãî êóðñà ìàòåìàòè÷åñêèé è ïðó-
æèííûé ìàÿòíèêè, èçîáðàæåííûå íà ðèñ. 1.1, åñëè ïåðâûé èç íèõ äâèæåòñÿ â îäíîé
ïëîñêîñòè, à âòîðîé  ïî ïðÿìîé.
Äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà f(t) ìîæåò õàðàêòåðèçîâàòü ëèáî óãëîâîå ñìåùå-
íèå (f(t)=α(t)), ëèáî ëèíåéíîå ñìåùåíèå âäîëü òðàåêòîðèè (f(t)=s(t)) òî÷å÷íîé ìàññû m
îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, à äëÿ ïðóæèííîãî ìàÿòíèêà f(t)=s(t), ãäå s(t)  ñìåùåíèå
ìàññû m îò åå ðàâíîâåñíîãî ïîëîæåíèÿ, èçîáðàæåííîãî ïóíêòèðîì.
Äâèæåíèå òàêèõ è ïîäîáíûõ èì ñèñòåì ìîæíî îïèñàòü íà îñíîâå âòîðîãî
çàêîíà Íüþòîíà:
Fa =m
. (1.1)
Åñëè ïðåíåáðå÷ü âíà÷àëå ñèëàìè ñîïðîòèâëåíèÿ (â äàëüíåéøåì ìû ó÷òåì èõ
äåéñòâèå), òî íà ìàññó m ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà áóäåò äåéñòâîâàòü ðåçóëüòèðóþ-
ùàÿ ñèëà F = N + mg (N  ñèëà íàòÿæåíèÿ íèòè), íàïðàâëåííàÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, ïîä
óãëîì ê òðàåêòîðèè, à íà ìàññó m ïðóæèííîãî ìàÿòíèêà, ëåæàùåãî íà ãëàäêîé ãîðèçîí-
òàëüíîé ïîâåðõíîñòè,  ãîðèçîíòàëüíàÿ ñèëà
F
τ
, ÿâëÿþùàÿñÿ ôóíêöèåé ñìåùåíèÿ s
îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ.
Òàê êàê ñìåùåíèå s(t) â ñëó÷àå ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà îïðåäåëÿåòñÿ òàíãåí-
öèàëüíûì óñêîðåíèåì, òî óðàâíåíèå (1.1) äëÿ îáîèõ ìàÿòíèêîâ çàïèøåòñÿ â âèäå
m
ds
dt
Fs mg
s
2
2
==−
τ
() sin
l
;
m
ds
dt
Fs
2
2
=
τ
()
, (1.2)
ãäå l  äëèíà íèòè.
Ðèñ. 1.1.
a
m
s
0
N
mg
F
F
t
s
F
t
k
m
l
0
6                                                                       Êîëåáàíèÿ è âîëíû




          a

              l

                                                                            Ft        m
                   N                                     k


              F                   s                                                           s
                                                                        0
                           m
      0       Ft
                           mg
                                               Ðèñ. 1.1.

          Íåçàòóõàþùèå ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ ñèñòåì ñ îäíîé ñòåïåíüþ ñâîáî-
äû. Åñëè ïîëîæåíèå ñèñòåìû ìîæåò áûòü îïèñàíî îäíèì åäèíñòâåííûì ïàðàìåòðîì
f(t), çàâèñÿùèì îò âðåìåíè, òî òàêàÿ ñèñòåìà èìååò îäíó ñòåïåíü ñâîáîäû. Ïðèìåðàìè
òàêèõ ñèñòåì ÿâëÿþòñÿ õîðîøî èçâåñòíûå èç øêîëüíîãî êóðñà ìàòåìàòè÷åñêèé è ïðó-
æèííûé ìàÿòíèêè, èçîáðàæåííûå íà ðèñ. 1.1, åñëè ïåðâûé èç íèõ äâèæåòñÿ â îäíîé
ïëîñêîñòè, à âòîðîé — ïî ïðÿìîé.
          Äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà f(t) ìîæåò õàðàêòåðèçîâàòü ëèáî óãëîâîå ñìåùå-
íèå (f(t) = α(t)), ëèáî ëèíåéíîå ñìåùåíèå âäîëü òðàåêòîðèè (f(t) = s(t)) òî÷å÷íîé ìàññû m
îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, à äëÿ ïðóæèííîãî ìàÿòíèêà f(t) = s(t), ãäå s(t) — ñìåùåíèå
ìàññû m îò åå ðàâíîâåñíîãî ïîëîæåíèÿ, èçîáðàæåííîãî ïóíêòèðîì.
          Äâèæåíèå òàêèõ è ïîäîáíûõ èì ñèñòåì ìîæíî îïèñàòü íà îñíîâå âòîðîãî
çàêîíà Íüþòîíà:
                                               ma = F .                                   (1.1)
        Åñëè ïðåíåáðå÷ü âíà÷àëå ñèëàìè ñîïðîòèâëåíèÿ (â äàëüíåéøåì ìû ó÷òåì èõ
äåéñòâèå), òî íà ìàññó m ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà áóäåò äåéñòâîâàòü ðåçóëüòèðóþ-
ùàÿ ñèëà F = N + mg (N — ñèëà íàòÿæåíèÿ íèòè), íàïðàâëåííàÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, ïîä
óãëîì ê òðàåêòîðèè, à íà ìàññó m ïðóæèííîãî ìàÿòíèêà, ëåæàùåãî íà ãëàäêîé ãîðèçîí-
òàëüíîé ïîâåðõíîñòè, — ãîðèçîíòàëüíàÿ ñèëà Fτ, ÿâëÿþùàÿñÿ ôóíêöèåé ñìåùåíèÿ s
îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ.
       Òàê êàê ñìåùåíèå s(t) â ñëó÷àå ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà îïðåäåëÿåòñÿ òàíãåí-
öèàëüíûì óñêîðåíèåì, òî óðàâíåíèå (1.1) äëÿ îáîèõ ìàÿòíèêîâ çàïèøåòñÿ â âèäå

                           d 2s                     s            d 2s
                       m      2
                                = Fτ ( s) = − mg sin ;       m          = Fτ ( s) ,       (1.2)
                           dt                       l            dt 2
ãäå l — äëèíà íèòè.

Страницы