Колебания и волны. Алешкевич В.А - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Êîëåáàíèÿ è âîëíû
22
Ýêñïîíåíöèàëüíûé çàêîí óáûâàíèÿ àìïëèòóäû ñî âðåìåíåì ïîçâîëÿåò ââåñòè
áåçðàçìåðíûé ïàðàìåòð  ëîãàðèôìè÷åñêèé äåêðåìåíò çàòóõàíèÿ θ, êîòîðûé ðàâåí ëî-
ãàðèôìó îòíîøåíèÿ äâóõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ îòêëîíåíèé â îäíó è òó æå ñòîðîíó:
θδ=
+
=ln
()
()
At
At T
T
. (1.59)
Èç (1.57), (1.58) è (1.59) íàõîäèì:
N
1
=θ
. (1.60)
Ëîãàðèôìè÷åñêèé äåêðåìåíò çàòóõàíèÿ ìîæíî îöåíèòü, åñëè ïîäñ÷èòàòü ÷èñëî
êîëåáàíèé, ñîâåðøåííûõ ñèñòåìîé çà âðåìÿ çàòóõàíèÿ τ, òî åñòü äî óìåíüøåíèÿ àìïëè-
òóäû êîëåáàíèé ïðèìåðíî â 3 ðàçà. ×åì áîëüøå ÷èñëî ýòèõ êîëåáàíèé, òåì ìåíüøå ïîòå-
ðè ýíåðãèè â ñèñòåìå.
Ïðîñëåäèì çà óáûâàíèåì ýíåðãèè, çàïàñåííîé îñöèëëÿòîðîì, ñ òå÷åíèåì âðå-
ìåíè. Èñïîëüçóÿ (1.54), çàïèøåì ïî àíàëîãèè ñ (1.24) è (1.25) âûðàæåíèÿ äëÿ ïîòåíöè-
àëüíîé è êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèé îñöèëëÿòîðà:
Ekse t
t
ïîò
=+
−
1
2
0
22 2
0
δ
ωϕ
sin ( )
, (1.61)
Emse t
t
êèí
=+
−
1
2
2
0
22 2
0
ωωϕ
δ
cos ( )
. (1.62)
Çàìåòèì, ÷òî, ñòðîãî ãîâîðÿ, ñêîðîñòü ðàâíà
v ==− + + +
−−
&
sin( ) cos( )sse t se t
tt
000 0
δωϕω ωϕ
δδ
. (1.63)
Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè δ << ω, òî ïåðâûì ñëàãàåìûì â (1.63) ìîæíî ïðåíåáðå÷ü è
çàïèñàòü âûðàæåíèå äëÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè â âèäå (1.62). Ñóììàðíàÿ ýíåðãèÿ îñöèë-
ëÿòîðà óáûâàåò ñî âðåìåíåì:
E(t)=E
ïîò
+ E
êèí
=
1
2
0
2
s
e
2δt
[k sin
2
(ωt + ϕ
0
)+mω
2
cos
2
(ωt + ϕ
0
)]. (1.64)
Ïðèìåì âî âíèìàíèå, ÷òî ïðè δ << ω
0
÷àñòîòà ω ≈ ω
0
. Òàê êàê
2
0
ω= mk
, òî (1.64) îêîí÷à-
òåëüíî çàïèøåòñÿ â âèäå
tt
eEems)t(E
δ−δ−
=ω=
2
0
22
0
2
0
2
1
. (1.65)
Ïîëíàÿ ýíåðãèÿ îñöèëëÿòîðà, ðàâíàÿ âíà÷àëå
2
000
2
1
ω= msE
, ìîíîòîííî óáûâàåò ñî âðå-
ìåíåì ïî ýêñïîíåíöèàëüíîìó çàêîíó è óìåíüøàåòñÿ â å ðàç çà âðåìÿ
22
1 τ
=
δ
=τ
E
. (1.66)
«Êà÷åñòâî» êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìû õàðàêòåðèçóþò áåçðàçìåðíûì ïàðà-
ìåòðîì Q, íàçûâàåìûì äîáðîòíîñòüþ. Äîáðîòíîñòü ïðîïîðöèîíàëüíà îòíîøå-
íèþ çàïàñåííîé ýíåðãèè E(t) ê ýíåðãèè ∆E
T
, òåðÿåìîé çà ïåðèîä (ðèñ. 1.15):
Q
Et
E
Ee
Ee Ee e
T
t
ttT T
==
−
=
−
−
−−+ −
22
2
1
0
2
0
2
0
22
ππ
π
δ
δδ δ
()
()
∆
. (1.67)
Åñëè ÷èñëî êîëåáàíèé âåëèêî, òî δT =1/N<< 1. Òîãäà
Q
e
T
N
T
=
−
=
−− +
≈=
−
2
1
2
112
2
ππ
δ
π
θ
π
δ
(...)
. (1.68)
22                                                                           Êîëåáàíèÿ è âîëíû

        Ýêñïîíåíöèàëüíûé çàêîí óáûâàíèÿ àìïëèòóäû ñî âðåìåíåì ïîçâîëÿåò ââåñòè
áåçðàçìåðíûé ïàðàìåòð — ëîãàðèôìè÷åñêèé äåêðåìåíò çàòóõàíèÿ θ, êîòîðûé ðàâåí ëî-
ãàðèôìó îòíîøåíèÿ äâóõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ îòêëîíåíèé â îäíó è òó æå ñòîðîíó:
                                                    A( t )
                                          θ = ln              = δT .                       (1.59)
                                                   A( t + T )
Èç (1.57), (1.58) è (1.59) íàõîäèì:
                                          1
                                            .      θ=                       (1.60)
                                          N
          Ëîãàðèôìè÷åñêèé äåêðåìåíò çàòóõàíèÿ ìîæíî îöåíèòü, åñëè ïîäñ÷èòàòü ÷èñëî
êîëåáàíèé, ñîâåðøåííûõ ñèñòåìîé çà âðåìÿ çàòóõàíèÿ τ, òî åñòü äî óìåíüøåíèÿ àìïëè-
òóäû êîëåáàíèé ïðèìåðíî â 3 ðàçà. ×åì áîëüøå ÷èñëî ýòèõ êîëåáàíèé, òåì ìåíüøå ïîòå-
ðè ýíåðãèè â ñèñòåìå.
        Ïðîñëåäèì çà óáûâàíèåì ýíåðãèè, çàïàñåííîé îñöèëëÿòîðîì, ñ òå÷åíèåì âðå-
ìåíè. Èñïîëüçóÿ (1.54), çàïèøåì ïî àíàëîãèè ñ (1.24) è (1.25) âûðàæåíèÿ äëÿ ïîòåíöè-
àëüíîé è êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèé îñöèëëÿòîðà:
                                    1
                            E ïîò = ks02 e − 2δt sin 2 (ωt + ϕ 0 ) ,          (1.61)
                                    2
                                  1
                          E êèí = mω 2 s02 e − 2δt cos2 (ωt + ϕ 0 ) .         (1.62)
                                  2
Çàìåòèì, ÷òî, ñòðîãî ãîâîðÿ, ñêîðîñòü ðàâíà
                       v = s& = − s0 δe − δt sin(ωt + ϕ 0 ) + s0ωe − δt cos(ωt + ϕ 0 ) .   (1.63)
        Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè δ << ω, òî ïåðâûì ñëàãàåìûì â (1.63) ìîæíî ïðåíåáðå÷ü è
çàïèñàòü âûðàæåíèå äëÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè â âèäå (1.62). Ñóììàðíàÿ ýíåðãèÿ îñöèë-
ëÿòîðà óáûâàåò ñî âðåìåíåì:
                                 1
           E(t) = Eïîò + Eêèí = s02 e–2δt[k sin2(ωt + ϕ0) + mω2 cos2(ωt + ϕ0)].  (1.64)
                                 2
                                                                        2
Ïðèìåì âî âíèìàíèå, ÷òî ïðè δ << ω0 ÷àñòîòà ω ≈ ω0. Òàê êàê k = mω0 , òî (1.64) îêîí÷à-
òåëüíî çàïèøåòñÿ â âèäå
                                     1
                             E( t ) = s 02 mω02 e −2δt = E 0 e −2δt .            (1.65)
                                     2
                                                         1
Ïîëíàÿ ýíåðãèÿ îñöèëëÿòîðà, ðàâíàÿ âíà÷àëå E 0 = s0 mω02 , ìîíîòîííî óáûâàåò ñî âðå-
                                                         2
ìåíåì ïî ýêñïîíåíöèàëüíîìó çàêîíó è óìåíüøàåòñÿ â å ðàç çà âðåìÿ
                                              1       τ
                                       τE =        = .                           (1.66)
                                             2δ 2
        «Êà÷åñòâî» êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìû õàðàêòåðèçóþò áåçðàçìåðíûì ïàðà-
ìåòðîì Q, íàçûâàåìûì äîáðîòíîñòüþ. Äîáðîòíîñòü ïðîïîðöèîíàëüíà îòíîøå-
íèþ çàïàñåííîé ýíåðãèè E(t) ê ýíåðãèè ∆E T , òåðÿåìîé çà ïåðèîä (ðèñ. 1.15):
                        E (t )                 E 0 e −2 δ t                   2π
                       Q = 2π  = 2π      − 2 δt            −2δ (t +T )
                                                                        =              .   (1.67)
                        ∆E T         E0e        − E0e                     1 − e − 2 δT
Åñëè ÷èñëî êîëåáàíèé âåëèêî, òî δT = 1/N << 1. Òîãäà
                              2π                 2π                    π
                     Q=              =                             ≈ = πN .                (1.68)
                         1 − e − 2 δT 1 − (1 − 2δT +...) θ

Страницы