Колебания и волны. Алешкевич В.А - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

31
Ëåêöèÿ 2
Äëÿ áîëüøåé íàãëÿäíîñòè ïîñëåäíåãî ðåçóëüòàòà îáðàòèìñÿ ê ñõåìå ñ ïîäâèæíûì
ëåâûì êîíöîì ïðóæèíû, ãäå, êàê ýòî âèäíî èç ðåøåíèÿ (2.20),
)2sin()(
00
π−ωξ= tQts . (2.22)
Àìïëèòóäà ñìåùåíèÿ ïðàâîãî êîíöà ïðóæèíû â Q ðàç ïðåâîñõîäèò àìïëèòóäó
ñìåùåíèÿ ëåâîãî êîíöà. Ïðè ïðîõîæäåíèè ìàññîé m ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ s = 0, êîãäà
åå ñêîðîñòü ìàêñèìàëüíà, ëåâûé êîíåö ïðóæèíû ñìåùåí íà ìàêñèìàëüíóþ âåëè÷èíó ξ
0
â íàïðàâëåíèè ñêîðîñòè äâèæóùåéñÿ ìàññû. Â ýòîò ìîìåíò âðåìåíè ìîùíîñòü ñèëû
óïðóãîñòè ïðóæèíû èìååò ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîå ïîëîæèòåëüíîå çíà÷åíèå ïðè çàäàí-
íîé âåëè÷èíå ξ
0
. Â ïîñëåäóþùèå ìîìåíòû âðåìåíè ýòà ìîùíîñòü áóäåò îñòàâàòüñÿ ïî-
ëîæèòåëüíîé, ÷òî, åñòåñòâåííî, îáåñïå÷èâàåò íàèáîëåå ýôôåêòèâíóþ ïåðåäà÷ó ýíåðãèè
äâèæóùåìóñÿ ñ òðåíèåì òåëó.
Åñëè ñèëà (2.5) ìåíÿåòñÿ ñ ïðîèçâîëüíîé ÷àñòîòîé ω, òî àìïëèòóäà s
0
è ôàçà ϕ
0
,
âõîäÿùèå â ðåøåíèå (2.7), ìîãóò áûòü íàéäåíû, êàê áûëî ñêàçàíî âûøå, ïîäñòàíîâêîé
ðåøåíèÿ (2.7) â óðàâíåíèå (2.10). Òàêóþ ïîäñòàíîâêó ìîæíî îñóùåñòâèòü íàèáîëåå ïðî-
ñòî, åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ ìåòîäîì êîìïëåêñíûõ àìïëèòóä, øèðîêî ïðèìåíÿåìûì â ðàç-
ëè÷íûõ îáëàñòÿõ ôèçèêè: òåîðèè êîëåáàíèé, òåîðèè âîëí, ýëåêòðîìàãíåòèçìå, îïòèêå è äð.
Ìåòîä êîìïëåêñíûõ àìïëèòóä. Åñëè â ôîðìóëå Ýéëåðà (1.53): e
iϕ
= cos ϕ + isin ϕ
ïîä ϕ ïîíèìàòü ôàçó ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé
ϕ = ωt + ϕ
0
, (2.23)
òî êàæäîìó òàêîìó êîëåáàíèþ s(t) ìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå êîìïëåêñíîå ÷èñëî
$
() cos( ) sin( )st se se e s t is t
iiit
== = ++ +
00 0 00 0
0
ϕϕω
ωϕ ωϕ
. (2.24)
Èç (2.24) âèäíî, ÷òî ðåøåíèå (2.7) ÿâëÿåòñÿ ìíèìîé ÷àñòüþ êîìïëåêñíîãî âûðàæåíèÿ:
st s t se
it
() sin( ) Im
$
=+=
000
ωϕ
ω
, (2.25)
ãäå
$
sse
i
00
0
=
ϕ
 êîìïëåêñíàÿ àìïëèòóäà, êîòîðàÿ íåñåò èíôîðìàöèþ îá àìïëèòóäå s
0
è
íà÷àëüíîé ôàçå ϕ
0
êîëåáàíèé. Íàäî îòìåòèòü, ÷òî ìåòîä êîìïëåêñíûõ àìïëèòóä ÿâëÿåòñÿ,
ôàêòè÷åñêè, àíàëèòè÷åñêèì âûðàæåíèåì ìåòîäà âåêòîðíûõ äèàãðàìì. Åñëè â ïîñëåäíåì
ìåòîäå êîëåáàíèå ñ ÷àñòîòîé ω ïîëíîñòüþ çàäàåòñÿ âåêòîðîì s
0
, òî â ìåòîäå êîìïëåêñíûõ
àìïëèòóä êîëåáàíèå çàäàåòñÿ ÷èñëîì
$
s
0
íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè. Ïîñêîëüêó ñ êîìïëåê-
ñíûìè ÷èñëàìè óäîáíî è ïðîñòî ïðîèçâîäèòü ìàòåìàòè÷åñêèå îïåðàöèè, òî ìû èñïîëüçó-
åì ýòî îáñòîÿòåëüñòâî äëÿ ïîëó÷åíèÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé (2.10).
Âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ ñ ïðîèçâîëüíîé ÷àñòîòîé. Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå
óðàâíåíèÿ (2.10) â êîìïëåêñíîì âèäå:
$
()
$
st se
it
=
0
ω
. (2.26)
Âûíóæäàþùóþ ñèëó â ïðàâîé ÷àñòè (2.10) òàêæå çàïèøåì â êîìïëåêñíîé ôîðìå:
$
()
$
Ft Fe
it
=
0
ω
, (2.27)
ãäå
$
FF
00
=
 äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî, ïîñêîëüêó äëÿ ïðîñòîòû ìû ïîëîæèëè, ÷òî
íà÷àëüíàÿ ôàçà â âûðàæåíèè äëÿ ñèëû (2.5) ðàâíà íóëþ.
Ëåêöèÿ 2                                                                                    31
       Äëÿ áîëüøåé íàãëÿäíîñòè ïîñëåäíåãî ðåçóëüòàòà îáðàòèìñÿ ê ñõåìå ñ ïîäâèæíûì
ëåâûì êîíöîì ïðóæèíû, ãäå, êàê ýòî âèäíî èç ðåøåíèÿ (2.20),
                                   s (t ) = ξ 0 Q sin(ω0 t − π 2) .                       (2.22)
         Àìïëèòóäà ñìåùåíèÿ ïðàâîãî êîíöà ïðóæèíû â Q ðàç ïðåâîñõîäèò àìïëèòóäó
ñìåùåíèÿ ëåâîãî êîíöà. Ïðè ïðîõîæäåíèè ìàññîé m ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ s = 0, êîãäà
åå ñêîðîñòü ìàêñèìàëüíà, ëåâûé êîíåö ïðóæèíû ñìåùåí íà ìàêñèìàëüíóþ âåëè÷èíó ξ0
â íàïðàâëåíèè ñêîðîñòè äâèæóùåéñÿ ìàññû. Â ýòîò ìîìåíò âðåìåíè ìîùíîñòü ñèëû
óïðóãîñòè ïðóæèíû èìååò ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîå ïîëîæèòåëüíîå çíà÷åíèå ïðè çàäàí-
íîé âåëè÷èíå ξ0.  ïîñëåäóþùèå ìîìåíòû âðåìåíè ýòà ìîùíîñòü áóäåò îñòàâàòüñÿ ïî-
ëîæèòåëüíîé, ÷òî, åñòåñòâåííî, îáåñïå÷èâàåò íàèáîëåå ýôôåêòèâíóþ ïåðåäà÷ó ýíåðãèè
äâèæóùåìóñÿ ñ òðåíèåì òåëó.
         Åñëè ñèëà (2.5) ìåíÿåòñÿ ñ ïðîèçâîëüíîé ÷àñòîòîé ω, òî àìïëèòóäà s0 è ôàçà ϕ0,
âõîäÿùèå â ðåøåíèå (2.7), ìîãóò áûòü íàéäåíû, êàê áûëî ñêàçàíî âûøå, ïîäñòàíîâêîé
ðåøåíèÿ (2.7) â óðàâíåíèå (2.10). Òàêóþ ïîäñòàíîâêó ìîæíî îñóùåñòâèòü íàèáîëåå ïðî-
ñòî, åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ ìåòîäîì êîìïëåêñíûõ àìïëèòóä, øèðîêî ïðèìåíÿåìûì â ðàç-
ëè÷íûõ îáëàñòÿõ ôèçèêè: òåîðèè êîëåáàíèé, òåîðèè âîëí, ýëåêòðîìàãíåòèçìå, îïòèêå è äð.

        Ìåòîä êîìïëåêñíûõ àìïëèòóä. Åñëè â ôîðìóëå Ýéëåðà (1.53): eiϕ = cos ϕ + isin ϕ
ïîä ϕ ïîíèìàòü ôàçó ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé
                                   ϕ = ωt + ϕ0,                               (2.23)
òî êàæäîìó òàêîìó êîëåáàíèþ s(t) ìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå êîìïëåêñíîå ÷èñëî
               s$(t ) = s0eiϕ = s0eiϕ 0 eiωt = s0 cos(ωt + ϕ 0 ) + is0 sin(ωt + ϕ 0 ) .   (2.24)
        Èç (2.24) âèäíî, ÷òî ðåøåíèå (2.7) ÿâëÿåòñÿ ìíèìîé ÷àñòüþ êîìïëåêñíîãî âûðàæåíèÿ:
                               s(t ) = s0 sin(ωt + ϕ 0 ) = Im s$0eiωt ,                   (2.25)

ãäå s$0 = s0eiϕ 0 — êîìïëåêñíàÿ àìïëèòóäà, êîòîðàÿ íåñåò èíôîðìàöèþ îá àìïëèòóäå s0 è
íà÷àëüíîé ôàçå ϕ0 êîëåáàíèé. Íàäî îòìåòèòü, ÷òî ìåòîä êîìïëåêñíûõ àìïëèòóä ÿâëÿåòñÿ,
ôàêòè÷åñêè, àíàëèòè÷åñêèì âûðàæåíèåì ìåòîäà âåêòîðíûõ äèàãðàìì. Åñëè â ïîñëåäíåì
ìåòîäå êîëåáàíèå ñ ÷àñòîòîé ω ïîëíîñòüþ çàäàåòñÿ âåêòîðîì s0, òî â ìåòîäå êîìïëåêñíûõ
àìïëèòóä êîëåáàíèå çàäàåòñÿ ÷èñëîì s$0 íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè. Ïîñêîëüêó ñ êîìïëåê-
ñíûìè ÷èñëàìè óäîáíî è ïðîñòî ïðîèçâîäèòü ìàòåìàòè÷åñêèå îïåðàöèè, òî ìû èñïîëüçó-
åì ýòî îáñòîÿòåëüñòâî äëÿ ïîëó÷åíèÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé (2.10).

       Âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ ñ ïðîèçâîëüíîé ÷àñòîòîé. Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå
óðàâíåíèÿ (2.10) â êîìïëåêñíîì âèäå:
                                           s$(t ) = s$0eiωt .                             (2.26)
        Âûíóæäàþùóþ ñèëó â ïðàâîé ÷àñòè (2.10) òàêæå çàïèøåì â êîìïëåêñíîé ôîðìå:
                                F$ (t ) = F$ eiωt ,   0                    (2.27)
ãäå F$0 = F0 — äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî, ïîñêîëüêó äëÿ ïðîñòîòû ìû ïîëîæèëè, ÷òî
íà÷àëüíàÿ ôàçà â âûðàæåíèè äëÿ ñèëû (2.5) ðàâíà íóëþ.

Страницы