Колебания и волны. Алешкевич В.А - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Êîëåáàíèÿ è âîëíû
40
ãäå ñîãëàñíî (1.42)
α
−ω≈ω
16
1
2
0
0
, à
.ag=ω
0
 ìîìåíò íàèáîëüøåãî îòêëîíåíèÿ íà óãîë α
0
ñèëà íàòÿæåíèÿ íèòè ðàâíà
N
1
= mg cos α
0
. Ïîýòîìó, óäëèíÿÿ íèòü íà âåëè÷èíó ∆a, âíåøíÿÿ ñèëà F
1
= N
1
ñîâåð-
øàåò îòðèöàòåëüíóþ ðàáîòó A
=mg cos α
0
⋅∆a. Ðàñêëàäûâàÿ cos α
0
â ðÿä
cosα
αα
0
0
2
0
4
1
224
≈− + +K
, ïîëó÷èì
.
242
1
4
0
2
0
amgA ∆
α
+
α
−−≈
−
(2.54)
Ïðè ïðîõîæäåíèè ìàÿòíèêîì ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ (α = 0) F
2
= N
2
=
=+mg
m
a
v
0
2
, ãäå v
0
= α
0
ωa. Ïîýòîìó ïîëîæèòåëüíàÿ ðàáîòà ïðè óêîðà÷èâàíèè íèòè ñ
òî÷íîñòüþ äî ÷ëåíîâ ïîðÿäêà
4
0
α ðàâíà:
,
8
1)(
4
0
2
0
22
0
amgaammgA ∆
α
−α+≈∆ωα+=
+
(2.55)
ãäå ó÷òåíî, ÷òî
.ga =ω
2
0
Ïîëíàÿ ðàáîòà, ñîâåðøàåìàÿ çà ïåðèîä âíåøíåé ñèëîé F, áóäåò ïîëîæè-
òåëüíîé è ðàâíîé
.
9
13
3
3)(2
2
0
2
0
4
0
2
0
α
−∆α=∆
α
−∆α=+=
−+
amga
mg
amgAAA
(2.56)
Ïîòåðè ýíåðãèè çà ïåðèîä ÷èñëåííî ðàâíû ðàáîòå ñèëû òðåíèÿ:
AFt t
TT
òð òð
dd
==−
∫∫
vv
0
2
0
Γ, (2.57)
ãäå F
òð
=Γv.
Ïðè ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèÿõ (2.53) ñêîðîñòü
v (t)=a
&
α
(t)=aα
0
ωcos ωt. (2.58)
Ïîäñòàâëÿÿ (2.58) â (2.57) è âûïîëíÿÿ èíòåãðèðîâàíèå, ïîëó÷àåì:
Aa tta
T
ga
T
T
òð
2
cos d
=− =− ≈− −
∫
ΓΓΓα
2
0
22
0
2
0
22
0
2
0
2
0
2
1
16 2
αω ω αω
α
, (2.59)
ïîñêîëüêó ωT = ω
0
T
0
=2π.
Ñëåäîâàòåëüíî, óñëîâèå áàëàíñà ýíåðãèè ñîñòîèò â ðàâåíñòâå íóëþ ñóììû
ðàáîò:
,0
òð
=+ ÀÀ
èëè
.
16
1
29
13
2
00
2
0
2
0
2
0
α
−αΓ=
α
−∆α
T
gaamg
(2.60)
Ïðîâîäÿ ñîêðàùåíèÿ è èñïîëüçóÿ îïðåäåëåíèå âûðàæåíèå äëÿ äîáðîòíîñòè
0
T
Q
δ
π
≈
, ïîëó÷àåì ïðèáëèæåííîå âûðàæåíèå äëÿ àìïëèòóäû α
0
óñòàíîâèâøèõñÿ ïàðà-
ìåòðè÷åñêèõ êîëåáàíèé:
40                                                                         Êîëåáàíèÿ è âîëíû

                             α2 
ãäå ñîãëàñíî (1.42) ω ≈ ω0 1 − 0  , à ω0 = g a .
                               16 
        Â ìîìåíò íàèáîëüøåãî îòêëîíåíèÿ íà óãîë α0 ñèëà íàòÿæåíèÿ íèòè ðàâíà
N1 = mg cos α0. Ïîýòîìó, óäëèíÿÿ íèòü íà âåëè÷èíó ∆a, âíåøíÿÿ ñèëà F 1 = N1 ñîâåð-
øàåò îòðèöàòåëüíóþ ðàáîòó A – = – mg cos α 0 ⋅ ∆a. Ðàñêëàäûâàÿ cos α 0 â ðÿä
               α 20 α 40
cosα 0 ≈ 1 −       +     +K , ïîëó÷èì
                2    24
                                   α2 α4 
                         A− ≈ −mg 1 − 0 + 0 ∆a.                   (2.54)
                                      2  24 
                                            
         Ïðè ïðîõîæäåíèè ìàÿòíèêîì ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ (α = 0) F 2 = N 2 =
       mv02
= mg +      , ãäå v0 = α0ωa. Ïîýòîìó ïîëîæèòåëüíàÿ ðàáîòà ïðè óêîðà÷èâàíèè íèòè ñ
        a
òî÷íîñòüþ äî ÷ëåíîâ ïîðÿäêà α 04 ðàâíà:
                                                                α4 
                     A+ = ( mg + mα 02 ω 2 a )∆a ≈ mg 1 + α 02 − 0 ∆a,   (2.55)
                                                                 8 
                                                      
ãäå ó÷òåíî, ÷òî ω02 a = g .
       Ïîëíàÿ ðàáîòà, ñîâåðøàåìàÿ çà ïåðèîä âíåøíåé ñèëîé F, áóäåò ïîëîæè-
òåëüíîé è ðàâíîé
                                             mgα 04                 α2 
             A = 2( A+ + A− ) = 3mgα 02 ∆a −        ∆a = 3mgα 02 ∆a1 − 0 . (2.56)
                                              3                        9 
                                                                   
       Ïîòåðè ýíåðãèè çà ïåðèîä ÷èñëåííî ðàâíû ðàáîòå ñèëû òðåíèÿ:
                                             T             T
                                     Aòð = ∫ Fòðvdt = − ∫ Γv 2 dt ,                              (2.57)
                                             0              0
ãäå Fòð = – Γv.
         Ïðè ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèÿõ (2.53) ñêîðîñòü
                               v (t) = a α& (t) = aα0ω cos ωt.                                   (2.58)
         Ïîäñòàâëÿÿ (2.58) â (2.57) è âûïîëíÿÿ èíòåãðèðîâàíèå, ïîëó÷àåì:
                                 T                                                α2  T
                                                                  T
            Aòð = − Γa 2 α 20 ω 2 ∫ cos2 ωtdt = − Γa 2 α 20 ω 2     ≈ − Γα 20 ga  1 − 0  0 ,   (2.59)
                                 0
                                                                  2                  16  2
ïîñêîëüêó ωT = ω0T0 = 2π.
       Ñëåäîâàòåëüíî, óñëîâèå áàëàíñà ýíåðãèè ñîñòîèò â ðàâåíñòâå íóëþ ñóììû
ðàáîò: À + Àòð = 0, èëè
                                 α2              T  α2 
                      3mgα 02 ∆a1 − 0  = Γα 02 ga 0 1 − 0 .        (2.60)
                                    9             2    16 
                                                          
         Ïðîâîäÿ ñîêðàùåíèÿ è èñïîëüçóÿ îïðåäåëåíèå âûðàæåíèå äëÿ äîáðîòíîñòè
     π
Q≈      , ïîëó÷àåì ïðèáëèæåííîå âûðàæåíèå äëÿ àìïëèòóäû α0 óñòàíîâèâøèõñÿ ïàðà-
    δT0
ìåòðè÷åñêèõ êîëåáàíèé:

Страницы