Колебания и волны. Алешкевич В.А - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Êîëåáàíèÿ è âîëíû
44
&
β
> 0. Ïðè ýòîì âîçðàñòóò ìîìåíòû ñèë òÿæåñòè Ì è òðåíèÿ Ì
òð
, è óñëîâèå (2.63) ìîæåò
íàðóøèòüñÿ. Åñëè íà÷àëüíûé íàêëîí êðèâîé Ì
òð
(
&
β
) íà ðèñ. 2.12 äîñòàòî÷íî âåëèê (ñèëü-
íàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ îáðàòíàÿ ñâÿçü), òî Ì
òð
(
&
β
) > M (β
0
). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî óãëîâàÿ ñêî-
ðîñòü
&
β
áóäåò íàðàñòàòü. Îäíàêî çàòåì ýòî íàðàñòàíèå ïðåêðàòèòñÿ, ò.ê. èç-çà íåëèíåé-
íîãî çàãèáà êðèâîé Ì
òð
(
&
β
) ðàâåíñòâî ìîìåíòîâ îïÿòü âîññòàíîâèòñÿ (ñðàáîòàåò ìåõà-
íèçì íåëèíåéíîãî îãðàíè÷åíèÿ):
)()(
maxòð
β=β ÌÌ
&
. (2.64)
Óñëîâèþ (2.64) ñîîòâåòñòâóåò òî÷êà R
+
íà êðèâîé Ì
òð
(
&
β
). Ïîñëå ýòîãî óãëîâàÿ
ñêîðîñòü íà÷íåò óìåíüøàòüñÿ, ïîñêîëüêó ñ ðîñòîì óãëà β ìîìåíò M(β) ïðîäîëæàåò ðàñ-
òè, à Ì
òð
(
&
β
) óáûâàòü. Ñëåäîâàòåëüíî, ìàÿòíèê ñïóñòÿ êàêîå-òî âðåìÿ îñòàíîâèòñÿ, à
åãî óãîë îòêëîíåíèÿ äîñòèãíåò ìàêñèìàëüíîé âåëè÷èíû β
max
. Ïîñêîëüêó â ýòîò ìîìåíò
,)(
0òðmax
ÌMM
=>β
òî ìàÿòíèê íà÷íåò äâèãàòüñÿ â îáðàòíîì íàïðàâëåíèè. Ìîìåíò
ñèëû òÿæåñòè íà÷íåò óìåíüøàòüñÿ, à ìîìåíò ñèëû òðåíèÿ áóäåò òàêæå óìåíüøàòüñÿ, íî
áûñòðåå, ÷åì ìîìåíò ñèëû òÿæåñòè (îïÿòü ñðàáàòûâàåò ïîëîæèòåëüíàÿ îáðàòíàÿ ñâÿçü).
Ñíà÷àëà ýòî äâèæåíèå áóäåò óñêîðåííûì, ïîêà M > M
òð
(äî òî÷êè R
íà ðèñ. 2.12), à
çàòåì ïðè M < M
òð
 çàìåäëåííûì (äî òî÷êè P íà ðèñ. 2.12). Îñòàíîâèâøèñü ïðè íåêî-
òîðîì óãëå íàêëîíà β
min
, ìàÿòíèê îïÿòü äâèæåòñÿ âëåâî, ò.ê. âñå åùå M < M
òð
. Íàêîíåö,
îí äîñòèãàåò ñòàðòîâîé ïîçèöèè, îäíàêî ïðèîáðåòåííàÿ èì ñêîðîñòü áóäåò áîëüøå ñêî-
ðîñòè íà÷àëüíîãî òîë÷êà. Òàêèì îáðàçîì, â òå÷åíèå îäíîãî ïåðèîäà êîëåáàíèé óâåëè÷è-
ëàñü ýíåðãèÿ ìàÿòíèêà çà ñ÷åò åå çàèìñòâîâàíèÿ îò óñòðîéñòâà, âðàùàþùåãî âàë.
 ïîñëåäóþùèå ïåðèîäû êîëåáàíèé òî÷êè R
+
è R
íà êðèâîé
)(
òð
β
&
Ì
áóäóò ñäâè-
ãàòüñÿ â ðàçíûå ñòîðîíû, îäíàêî èç-çà íåëèíåéíîñòè êðèâîé ýòîò ñäâèã ïðåêðàòèòñÿ (ñðà-
áàòûâàåò ìåõàíèçì íåëèíåéíîãî îãðàíè÷åíèÿ), è êîëåáàíèÿ óñòàíîâÿòñÿ.
×òîáû êîëè÷åñòâåííî ïðîàíàëèçèðîâàòü àâòîêîëåáàíèÿ ìàÿòíèêà, çàïèøåì óðàâ-
íåíèå âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ ìàÿòíèêà ñ ìîìåíòîì èíåðöèè J:
.sin)(
òð
β−β=β mgaMJ
&&&
(2.65)
 ýòîì óðàâíåíèè ìû ïîêà ïðåíåáðåæåì ìîìåíòîì ñèëû âÿçêîãî òðåíèÿ, äåéñòâóþ-
ùåé íà äâèæóùèéñÿ ìàÿòíèê. Ìîìåíò ñèëû ñóõîãî òðåíèÿ â ïîäâåñå, íåëèíåéíî çàâèñÿùèé
îò óãëîâîé ñêîðîñòè
&
β
(ñì. ðèñ. 2.12), ìîæíî àïïðîêñèìèðîâàòü ñëåäóþùèì âûðàæåíèåì
,)(
3
210òð
β−β+=β
&&&
kkÌÌ
(2.66)
ãäå k
1
è k
2
 ðàçìåðíûå êîýôôèöèåíòû, îïðåäåëÿþùèå îáðàòíóþ ñâÿçü è íåëèíåéíîå
îãðàíè÷åíèå ñîîòâåòñòâåííî. Åñëè êîëåáàíèå îïèñûâàòü óãëîì îòêëîíåíèÿ
α
îò ïîëî-
æåíèÿ íåóñòîé÷èâîãî ðàâíîâåñèÿ, çàäàâàåìîãî óãëîì
0
β
),(
0
β−β=α
òî
).sincoscos(sinsin
00
αβ+αβ=β mgamga (2.67)
Äëÿ ìàëûõ óãëîâ cos α≈1, sin α≈α. Åñëè ó÷åñòü äàëåå, ÷òî
,α=β
&
&
òî óðàâíåíèå
(2.65) ïðèìåò âèä:
44                                                                        Êîëåáàíèÿ è âîëíû

β& > 0. Ïðè ýòîì âîçðàñòóò ìîìåíòû ñèë òÿæåñòè Ì è òðåíèÿ Ìòð , è óñëîâèå (2.63) ìîæåò

íàðóøèòüñÿ. Åñëè íà÷àëüíûé íàêëîí êðèâîé Ìòð( β& ) íà ðèñ. 2.12 äîñòàòî÷íî âåëèê (ñèëü-

íàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ îáðàòíàÿ ñâÿçü), òî Ìòð( β& ) > M (β0). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî óãëîâàÿ ñêî-
ðîñòü β& áóäåò íàðàñòàòü. Îäíàêî çàòåì ýòî íàðàñòàíèå ïðåêðàòèòñÿ, ò.ê. èç-çà íåëèíåé-
íîãî çàãèáà êðèâîé Ìòð( β& ) ðàâåíñòâî ìîìåíòîâ îïÿòü âîññòàíîâèòñÿ (ñðàáîòàåò ìåõà-
íèçì íåëèíåéíîãî îãðàíè÷åíèÿ):
                                   Ì òð (β& max ) = Ì (β) .                           (2.64)
        Óñëîâèþ (2.64) ñîîòâåòñòâóåò òî÷êà R+ íà êðèâîé Ìòð( β& ). Ïîñëå ýòîãî óãëîâàÿ
ñêîðîñòü íà÷íåò óìåíüøàòüñÿ, ïîñêîëüêó ñ ðîñòîì óãëà β ìîìåíò M(β) ïðîäîëæàåò ðàñ-
òè, à Ì ( β& ) — óáûâàòü. Ñëåäîâàòåëüíî, ìàÿòíèê ñïóñòÿ êàêîå-òî âðåìÿ îñòàíîâèòñÿ, à
       òð
åãî óãîë îòêëîíåíèÿ äîñòèãíåò ìàêñèìàëüíîé âåëè÷èíû βmax. Ïîñêîëüêó â ýòîò ìîìåíò
M (β max ) > M òð = Ì 0 , òî ìàÿòíèê íà÷íåò äâèãàòüñÿ â îáðàòíîì íàïðàâëåíèè. Ìîìåíò
ñèëû òÿæåñòè íà÷íåò óìåíüøàòüñÿ, à ìîìåíò ñèëû òðåíèÿ áóäåò òàêæå óìåíüøàòüñÿ, íî
áûñòðåå, ÷åì ìîìåíò ñèëû òÿæåñòè (îïÿòü ñðàáàòûâàåò ïîëîæèòåëüíàÿ îáðàòíàÿ ñâÿçü).
Ñíà÷àëà ýòî äâèæåíèå áóäåò óñêîðåííûì, ïîêà M > Mòð (äî òî÷êè R– íà ðèñ. 2.12), à
çàòåì ïðè M < Mòð — çàìåäëåííûì (äî òî÷êè P íà ðèñ. 2.12). Îñòàíîâèâøèñü ïðè íåêî-
òîðîì óãëå íàêëîíà βmin, ìàÿòíèê îïÿòü äâèæåòñÿ âëåâî, ò.ê. âñå åùå M < Mòð. Íàêîíåö,
îí äîñòèãàåò ñòàðòîâîé ïîçèöèè, îäíàêî ïðèîáðåòåííàÿ èì ñêîðîñòü áóäåò áîëüøå ñêî-
ðîñòè íà÷àëüíîãî òîë÷êà. Òàêèì îáðàçîì, â òå÷åíèå îäíîãî ïåðèîäà êîëåáàíèé óâåëè÷è-
ëàñü ýíåðãèÿ ìàÿòíèêà çà ñ÷åò åå çàèìñòâîâàíèÿ îò óñòðîéñòâà, âðàùàþùåãî âàë.
         ïîñëåäóþùèå ïåðèîäû êîëåáàíèé òî÷êè R è R íà êðèâîé Ì (β& ) áóäóò ñäâè-
                                                            +         –         òð
ãàòüñÿ â ðàçíûå ñòîðîíû, îäíàêî èç-çà íåëèíåéíîñòè êðèâîé ýòîò ñäâèã ïðåêðàòèòñÿ (ñðà-
áàòûâàåò ìåõàíèçì íåëèíåéíîãî îãðàíè÷åíèÿ), è êîëåáàíèÿ óñòàíîâÿòñÿ.
         ×òîáû êîëè÷åñòâåííî ïðîàíàëèçèðîâàòü àâòîêîëåáàíèÿ ìàÿòíèêà, çàïèøåì óðàâ-
íåíèå âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ ìàÿòíèêà ñ ìîìåíòîì èíåðöèè J:
                            J&β& = M (β& ) − mga sin β.
                                          òð                                          (2.65)
        Â ýòîì óðàâíåíèè ìû ïîêà ïðåíåáðåæåì ìîìåíòîì ñèëû âÿçêîãî òðåíèÿ, äåéñòâóþ-
ùåé íà äâèæóùèéñÿ ìàÿòíèê. Ìîìåíò ñèëû ñóõîãî òðåíèÿ â ïîäâåñå, íåëèíåéíî çàâèñÿùèé
îò óãëîâîé ñêîðîñòè β& (ñì. ðèñ. 2.12), ìîæíî àïïðîêñèìèðîâàòü ñëåäóþùèì âûðàæåíèåì
                               Ì òð (β& ) = Ì 0 + k1β& − k 2 β& 3 ,                   (2.66)
ãäå k1 è k2 — ðàçìåðíûå êîýôôèöèåíòû, îïðåäåëÿþùèå îáðàòíóþ ñâÿçü è íåëèíåéíîå
îãðàíè÷åíèå ñîîòâåòñòâåííî. Åñëè êîëåáàíèå îïèñûâàòü óãëîì îòêëîíåíèÿ α îò ïîëî-
æåíèÿ íåóñòîé÷èâîãî ðàâíîâåñèÿ, çàäàâàåìîãî óãëîì β 0 (α = β − β 0 ), òî
                      mga sin β = mga (sin β 0 cos α + cos β 0 sin α ).               (2.67)
        Äëÿ ìàëûõ óãëîâ cos α ≈ 1, sin α ≈ α. Åñëè ó÷åñòü äàëåå, ÷òî β& = α& , òî óðàâíåíèå
(2.65) ïðèìåò âèä:

Страницы