Колебания и волны. Алешкевич В.А - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

45
Ëåêöèÿ 2
.cos
3
210
α−α=αβ+α
&&&&
kkmgaJ
(2.68)
Ýòî óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ íåëèíåéíûì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì è íå èìå-
åò àíàëèòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ.  òåîðèè êîëåáàíèé ðàçâèòû ìåòîäû, ïîçâîëÿþùèå ðåøèòü
åãî ïðèáëèæåííî, èññëåäîâàòü óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ âîçìîæíî ñàìîâîçáóæäåíèå êîëå-
áàíèé, è íàéòè àìïëèòóäó α
0
è ÷àñòîòó ω óñòàíîâèâøèõñÿ êîëåáàíèé:
.sin)(
0
tt ωα=α
(2.69)
Ìû æå ïîñòóïèì áîëåå ïðîñòî è îïðåäåëèì α
0
èç óñëîâèÿ ýíåðãåòè÷åñêîãî áà-
ëàíñà. Ïîñêîëüêó ïðàâàÿ ÷àñòü (2.68) ìàëà, òî ÷àñòîòà êîëåáàíèé ïðèáëèæåííî ðàâíà:
.cos
0
Jmga β=ω
Ïîäñ÷èòàåì ðàáîòó çà ïåðèîä êîëåáàíèé
,2 ωπ=T
ñîâåðøàåìóþ óñòðîéñòâîì
(íàïðèìåð, ýëåêòðîäâèãàòåëåì), âðàùàþùèì âàë. Îíà, î÷åâèäíî, ðàâíà:
AM tMT
T
==
∫
òð
d(
&
)
βΩ Ω
0
0
. (2.70)
Çäåñü ó÷òåíî, ÷òî èíòåãðàëû ïî âðåìåíè îò
&
β
è
3
β
&
ðàâíû íóëþ, ïîñêîëüêó
.cos
0
tωωα=α=β
&
&
(2.71)
Ïîòåðè ýíåðãèè â ñêîëüçÿùåì ïîäâåñå çà ýòî âðåìÿ ñîñòàâÿò âåëè÷èíó
qM tM
kk
T
T
=−=−+
∫
òð
d(
&
)(
&
)
ββ
αω αω
ΩΩ
0
0
10
22
20
44
2
3
8
. (2.72)
Íà ðèñ. 2.13 èçîáðàæåíû çàâèñèìîñòè A
è q îò àìïëèòóäû α
0
. Âèäíî, ÷òî ïðè ñëó÷àéíûõ
ôëóêòóàöèÿõ, êîãäà α
0
ìàëî, A > q. Ýòî îçíà÷àåò,
÷òî êîëåáàíèÿ áóäóò íàðàñòàòü. Îäíàêî ñ ðîñ-
òîì àìïëèòóäû íà÷èíàþò ðàñòè ïîòåðè q. Êî-
ëåáàíèÿ óñòàíîâÿòñÿ ïðè A=q (òî÷êà R íà ãðà-
ôèêå). Àìïëèòóäà óñòàíîâèâøèõñÿ êîëåáàíèé
îïðåäåëèòñÿ èç ðàâåíñòâà
.
8
3
2
44
óñò02
22
óñò01
00
ωα
+
ωα
−Ω=Ω
kk
TMTM
(2.73)
Îòñþäà
.
3
2
2
1
óñò0
k
k
ω
=α
(2.74)
Çàìåòèì, ÷òî òåïåðü ìû ìîæåì ëåãêî ó÷åñòü ñèëû âÿçêîãî òðåíèÿ, äëÿ ÷åãî â
ïðàâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (2.68) ñëåäóåò äîáàâèòü ÷ëåí
αΓ−
&
. Ýòî ïðèâåäåò ê òîìó, ÷òî k
1
â (2.74) áóäåò óìåíüøåí íà âåëè÷èíó Γ. Ïîýòîìó (2.74) èçìåíèòñÿ:
.
3
2
2
1
óñò0
k
k Γ−
ω
=α
(2.75)
Èç ïîñëåäíåãî âûðàæåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ïðè
1
k≥Γ
êîëåáàíèÿ íå ìîãóò
ñàìîïðîèçâîëüíî íà÷àòüñÿ.
a
M
0
WT
R
0
óñò
a
0
A
q
0
Ðèñ. 2.13.
Ëåêöèÿ 2                                                                                                      45

                               && + mga cos β 0 α = k1α& − k 2 α& 3 .
                              Jα                                                                         (2.68)
        Ýòî óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ íåëèíåéíûì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì è íå èìå-
åò àíàëèòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ.  òåîðèè êîëåáàíèé ðàçâèòû ìåòîäû, ïîçâîëÿþùèå ðåøèòü
åãî ïðèáëèæåííî, èññëåäîâàòü óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ âîçìîæíî ñàìîâîçáóæäåíèå êîëå-
áàíèé, è íàéòè àìïëèòóäó α0 è ÷àñòîòó ω óñòàíîâèâøèõñÿ êîëåáàíèé:
                                          α(t ) = α 0 sin ωt.                                            (2.69)
        Ìû æå ïîñòóïèì áîëåå ïðîñòî è îïðåäåëèì α0 èç óñëîâèÿ ýíåðãåòè÷åñêîãî áà-
ëàíñà. Ïîñêîëüêó ïðàâàÿ ÷àñòü (2.68) ìàëà, òî ÷àñòîòà êîëåáàíèé ïðèáëèæåííî ðàâíà:
ω = mga cos β 0 J .
         Ïîäñ÷èòàåì ðàáîòó çà ïåðèîä êîëåáàíèé T = 2π ω, ñîâåðøàåìóþ óñòðîéñòâîì
(íàïðèìåð, ýëåêòðîäâèãàòåëåì), âðàùàþùèì âàë. Îíà, î÷åâèäíî, ðàâíà:
                                      T
                                 A = ∫ M òð (β& ) Ωdt = M 0 ΩT .                                         (2.70)
                                      0
Çäåñü ó÷òåíî, ÷òî èíòåãðàëû ïî âðåìåíè îò β& è β& 3 ðàâíû íóëþ, ïîñêîëüêó
                                     β& = α& = α 0 ω cos ωt.                                             (2.71)
         Ïîòåðè ýíåðãèè â ñêîëüçÿùåì ïîäâåñå çà ýòî âðåìÿ ñîñòàâÿò âåëè÷èíó
                    T                                 k α 2 ω 2 3k 2 α 04 ω 4 
                q = ∫ M òð (β& )(Ω − β& )dt =  M 0 Ω − 1 0     +              T .                      (2.72)
                    0                                    2           8        
         Íà ðèñ. 2.13 èçîáðàæåíû çàâèñèìîñòè A
è q îò àìïëèòóäû α0. Âèäíî, ÷òî ïðè ñëó÷àéíûõ                                               A        R
                                                                M0 WT
ôëóêòóàöèÿõ, êîãäà α0 ìàëî, A > q. Ýòî îçíà÷àåò,
÷òî êîëåáàíèÿ áóäóò íàðàñòàòü. Îäíàêî ñ ðîñ-                                                     q
òîì àìïëèòóäû íà÷èíàþò ðàñòè ïîòåðè q. Êî-
                                                                        0                            a 0óñò   a0
ëåáàíèÿ óñòàíîâÿòñÿ ïðè A = q (òî÷êà R íà ãðà-
ôèêå). Àìïëèòóäà óñòàíîâèâøèõñÿ êîëåáàíèé                                               Ðèñ. 2.13.
îïðåäåëèòñÿ èç ðàâåíñòâà
                                               k1α 02 óñò ω 2       3k 2 α 04 óñò ω 4
                       M 0 ΩT = M 0 ΩT −                        +                       .                (2.73)
                                                     2                      8
Îòñþäà
                                        2 k1
                                       α 0 óñò =
                                               .                            (2.74)
                                        ω 3k 2
         Çàìåòèì, ÷òî òåïåðü ìû ìîæåì ëåãêî ó÷åñòü ñèëû âÿçêîãî òðåíèÿ, äëÿ ÷åãî â
ïðàâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (2.68) ñëåäóåò äîáàâèòü ÷ëåí −Γα& . Ýòî ïðèâåäåò ê òîìó, ÷òî k1
â (2.74) áóäåò óìåíüøåí íà âåëè÷èíó Γ. Ïîýòîìó (2.74) èçìåíèòñÿ:
                                                 2 k1 − Γ
                                     α 0 óñò =            .                                              (2.75)
                                                 ω 3k 2
         Èç ïîñëåäíåãî âûðàæåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ïðè Γ ≥ k1 êîëåáàíèÿ íå ìîãóò
ñàìîïðîèçâîëüíî íà÷àòüñÿ.

Страницы