Колебания и волны. Алешкевич В.А - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

43
Ëåêöèÿ 2
Ïóñòü âàë âðàùàåòñÿ ñ ïîñòîÿííîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ Ω
ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå. Åñëè óãîë îòêëîíåíèÿ ìàÿòíèêà îò âåðòèêàëè
β(t) ìåíÿåòñÿ ñ òå÷åíèåì âðåìåíè, òî ñèëà ñóõîãî òðåíèÿ â ïîäâåñå,
íåëèíåéíî çàâèñÿùàÿ îò îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòè ìóôòû è âàëà
Ω
&
β
, òàêæå áóäåò ìåíÿòüñÿ âî âðåìåíè (
&
β
 óãëîâàÿ ñêîðîñòü
ìóôòû). Ìîìåíò ýòîé ñèëû Ì
òð
áóäåò îêàçûâàòü ïåðèîäè÷åñêîå âîç-
äåéñòâèå íà ìàÿòíèê, ïîääåðæèâàÿ åãî êîëåáàíèÿ. Íà ðèñ. 2.11 èçîá-
ðàæåíà íåëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü Ì
òð
îò îòíîñèòåëüíîé óãëîâîé
ñêîðîñòè ìóôòû è âàëà. Íà èçîáðàæåííîé êðèâîé èìååòñÿ òî÷êà
ïåðåãèáà P. Ïîäáåðåì ñêîðîñòü âðàùåíèÿ âàëà Ω òàêîé, ÷òîáû â
îòñóòñòâèå êîëåáàíèé (
&
β
= 0) ïîïàñòü â ýòó òî÷êó.  ýòîì ñëó÷àå ê ìóôòå ìàÿòíèêà áóäåò
ïðèëîæåí ïîñòîÿííûé ìîìåíò ñèëû òðåíèÿ: M
òð
= M
0
. Äëÿ äàëüíåéøåãî àíàëèçà áîëåå
óäîáíî âîñïîëüçîâàòüñÿ çàâèñèìîñòüþ M
òð
(
&
β
), èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 2.12. Ñëåäóåò ïîä-
÷åðêíóòü, ÷òî íà÷àëüíîå (ëèíåéíîå) íàðàñòàíèå Ì
òð
ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ
&
β
îáåñïå÷èâàåò
óñëîâèå äëÿ ñàìîïðîèçâîëüíîãî íàðàñòàíèÿ êîëåáàíèé èç ôëóêòóàöèè, ÷òî ýêâèâàëåíòíî
íàëè÷èþ ïîëîæèòåëüíîé îáðàòíîé ñâÿçè, à ïîñëåäóþùåå çàìåäëåíèå ðîñòà Ì
òð
ïðè óâå-
ëè÷åíèè
&
β
ÿâëÿåòñÿ ïðè÷èíîé íåëèíåéíîãî îãðàíè÷åíèÿ íàðàñòàíèÿ êîëåáàíèé: àìïëèòó-
äà ñìåùåíèÿ ìàÿòíèêà (à çíà÷èò è àìïëèòóäà åãî ñêîðîñòè
max
β
&
) äîñòèãíåò ìàêñèìàëüíîé
(óñòàíîâèâøåéñÿ) âåëè÷èíû, ÷òî ýêâèâàëåíòíî íàëè÷èþ íåëèíåéíîãî îãðàíè÷èòåëÿ.
Îòêëîíèì îñòîðîæíî ìàÿòíèê îò âåðòèêàëè íà óãîë β
0
òàêîé, ÷òîáû ìîìåíò ñèëû
òðåíèÿ, äåéñòâóþùèé íà íåïîäâèæíûé ìàÿòíèê, M
0
= M
òð
(0), áûë óðàâíîâåøåí ìîìåí-
òîì ñèëû òÿæåñòè M(β
0
)=mga sin β
0
:
),()0(
0òð
β=
ÌÌ
èëè
.sin
00
β= mgaÌ (2.63)
Çäåñü m ìàññà ìàÿòíèêà, a  ðàññòîÿíèå îò âàëà äî öåíòðà ìàññ ìàÿòíèêà.
Íà ïåðâûé âçãëÿä, ìîæåò ïîêàçàòüñÿ, ÷òî ìàÿòíèê òàê è îñòàíåòñÿ âèñåòü ïîä
óãëîì β
0
ê âåðòèêàëè. Íà ñàìîì äåëå ýòî ïîëîæåíèå áóäåò íåóñòîé÷èâûì. Ïðåäñòàâèì,
÷òî â ðåçóëüòàòå íè÷òîæíîãî òîë÷êà ìàÿòíèê ïðèîáðåòåò íåáîëüøóþ óãëîâóþ ñêîðîñòü
b
()t
a
1
2
W
Ðèñ. 2.10.
W
M
0
M
òð
P
Wb
0
Ðèñ. 2.11.
M
0
M
òð
b
0
b
max
b
max
R
R
+
Ðèñ. 2.12.
Ëåêöèÿ 2                                                                                  43
          Ïóñòü âàë âðàùàåòñÿ ñ ïîñòîÿííîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ Ω
ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå. Åñëè óãîë îòêëîíåíèÿ ìàÿòíèêà îò âåðòèêàëè                        2   W
                                                                                  1
β(t) ìåíÿåòñÿ ñ òå÷åíèåì âðåìåíè, òî ñèëà ñóõîãî òðåíèÿ â ïîäâåñå,
íåëèíåéíî çàâèñÿùàÿ îò îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòè ìóôòû è âàëà
Ω – β& , òàêæå áóäåò ìåíÿòüñÿ âî âðåìåíè ( β& — óãëîâàÿ ñêîðîñòü              a
ìóôòû). Ìîìåíò ýòîé ñèëû Ìòð áóäåò îêàçûâàòü ïåðèîäè÷åñêîå âîç-                   b(t)
äåéñòâèå íà ìàÿòíèê, ïîääåðæèâàÿ åãî êîëåáàíèÿ. Íà ðèñ. 2.11 èçîá-
ðàæåíà íåëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü Ìòð îò îòíîñèòåëüíîé óãëîâîé
ñêîðîñòè ìóôòû è âàëà. Íà èçîáðàæåííîé êðèâîé èìååòñÿ òî÷êà
ïåðåãèáà P. Ïîäáåðåì ñêîðîñòü âðàùåíèÿ âàëà Ω òàêîé, ÷òîáû â              Ðèñ. 2.10.

îòñóòñòâèå êîëåáàíèé ( β& = 0) ïîïàñòü â ýòó òî÷êó.  ýòîì ñëó÷àå ê ìóôòå ìàÿòíèêà áóäåò

ïðèëîæåí ïîñòîÿííûé ìîìåíò ñèëû òðåíèÿ: Mòð = M0. Äëÿ äàëüíåéøåãî àíàëèçà áîëåå
óäîáíî âîñïîëüçîâàòüñÿ çàâèñèìîñòüþ M ( β& ), èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 2.12. Ñëåäóåò ïîä-
                                         òð
÷åðêíóòü, ÷òî íà÷àëüíîå (ëèíåéíîå) íàðàñòàíèå Ìòð ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ β& îáåñïå÷èâàåò
óñëîâèå äëÿ ñàìîïðîèçâîëüíîãî íàðàñòàíèÿ êîëåáàíèé èç ôëóêòóàöèè, ÷òî ýêâèâàëåíòíî
íàëè÷èþ ïîëîæèòåëüíîé îáðàòíîé ñâÿçè, à ïîñëåäóþùåå çàìåäëåíèå ðîñòà Ìòð ïðè óâå-
ëè÷åíèè β& ÿâëÿåòñÿ ïðè÷èíîé íåëèíåéíîãî îãðàíè÷åíèÿ íàðàñòàíèÿ êîëåáàíèé: àìïëèòó-
äà ñìåùåíèÿ ìàÿòíèêà (à çíà÷èò è àìïëèòóäà åãî ñêîðîñòè β& max ) äîñòèãíåò ìàêñèìàëüíîé
(óñòàíîâèâøåéñÿ) âåëè÷èíû, ÷òî ýêâèâàëåíòíî íàëè÷èþ íåëèíåéíîãî îãðàíè÷èòåëÿ.
        Îòêëîíèì îñòîðîæíî ìàÿòíèê îò âåðòèêàëè íà óãîë β0 òàêîé, ÷òîáû ìîìåíò ñèëû
òðåíèÿ, äåéñòâóþùèé íà íåïîäâèæíûé ìàÿòíèê, M0 = Mòð(0), áûë óðàâíîâåøåí ìîìåí-
òîì ñèëû òÿæåñòè M(β0) = mga sin β0:
                       Ì òð (0) = Ì (β 0 ), èëè Ì 0 = mga sin β 0 .         (2.63)
Çäåñü m — ìàññà ìàÿòíèêà, a — ðàññòîÿíèå îò âàëà äî öåíòðà ìàññ ìàÿòíèêà.
        Íà ïåðâûé âçãëÿä, ìîæåò ïîêàçàòüñÿ, ÷òî ìàÿòíèê òàê è îñòàíåòñÿ âèñåòü ïîä
óãëîì β0 ê âåðòèêàëè. Íà ñàìîì äåëå ýòî ïîëîæåíèå áóäåò íåóñòîé÷èâûì. Ïðåäñòàâèì,
÷òî â ðåçóëüòàòå íè÷òîæíîãî òîë÷êà ìàÿòíèê ïðèîáðåòåò íåáîëüøóþ óãëîâóþ ñêîðîñòü


   M òð
                                                                 Mòð          R+
                              P
   M0
                                                                     M0

                                                          R–

    0                       W                 W–b       – bmax        0           bmax b
                      Ðèñ. 2.11.                                 Ðèñ. 2.12.

Страницы