Колебания и волны. Алешкевич В.А - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Êîëåáàíèÿ è âîëíû
48
ñòüþ k´. Âòîðàÿ (á)  äâà ãðóçà ñ ìàññàìè m
1
è m
2
, çàêðåïëåííûå íà íàòÿíóòîì íåêîòîðîé
ñèëîé F íåâåñîìîì ðåçèíîâîì øíóðå. Òðåòüÿ (â)  äâà ñâÿçàííûõ ïðóæèíîé k´ ðàçëè÷íûõ
ìàÿòíèêà, êàæäûé èç êîòîðûõ ñîñòîèò èç ãðóçà, ïîäâåøåííîãî íà íåâåñîìîì ñòåðæíå.
Êîëåáàíèÿ ãðóçîâ â êàæäîé èç òðåõ ñèñòåì îïèñûâàþòñÿ äâóìÿ âðåìåííûìè
çàâèñèìîñòÿìè èõ ñìåùåíèé s
1
(t) è s
2
(t). Ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå ñìåùåíèÿ s íà
ðèñóíêå óêàçàíî ñòðåëêàìè.
Îïûò ïîêàçûâàåò, ÷òî ïðè ïðîèçâîëüíîì ñïîñîáå âîçáóæäåíèÿ êîëåáàíèÿ íå áóäóò
ãàðìîíè÷åñêèìè: àìïëèòóäà êîëåáàíèé êàæäîé èç ìàññ áóäåò ïåðèîäè÷åñêè ìåíÿòüñÿ âî
âðåìåíè. Îäíàêî ìîæíî ñîçäàòü òàêèå íà÷àëüíûå óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ êàæäûé ãðóç
áóäåò ñîâåðøàòü ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ ñ îäíîé è òîé æå ÷àñòîòîé ω:
).sin()(
);sin()(
022
011
ϕ+ω=
ϕ+ω=
tsts
tsts
(3.1)
×àñòîòà ýòèõ êîëåáàíèé ω îïðåäåëÿåòñÿ ñâîéñòâàìè ñèñòåìû. Îòíîøåíèå
ς = s
02
/s
01
(3.2)
òàêæå îïðåäåëÿåòñÿ ïàðàìåòðàìè ñèñòåìû. Ýòà áåçðàçìåðíàÿ àëãåáðàè÷åñêàÿ âåëè÷èíà ς
íàçûâàåòñÿ êîýôôèöèåíòîì ðàñïðåäåëåíèÿ àìïëèòóä ïðè ãàðìîíè÷åñêîì êîëåáàíèè.
Îòìåòèì, ÷òî s
01
è s
02
ìîãóò èìåòü ëþáîé çíàê. Åñëè ς > 0, òî ñìåùåíèÿ îáåèõ ìàññ âñåãäà
ïðîèñõîäÿò â îäíó ñòîðîíó (ñèíôàçíûå êîëåáàíèÿ), à ïðè ς < 0  â ïðîòèâîïîëîæíûå
ñòîðîíû (ïðîòèâîôàçíûå êîëåáàíèÿ). Ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ (3.1) íàçûâàþòñÿ íîðìàëü-
íûìè êîëåáàíèÿìè, èëè ìîäàìè, à ÷àñòîòà ω íàçûâàåòñÿ íîðìàëüíîé ÷àñòîòîé. Òàêèì îá-
ðàçîì, ìîäà õàðàêòåðèçóåòñÿ äâóìÿ ïàðàìåòðàìè: ÷àñòîòîé ω è êîýôôèöèåíòîì ς, îïðåäå-
ëÿþùèì «êîíôèãóðàöèþ» ìîäû.
Ïðàêòèêà ïîêàçûâàåò, ÷òî â ñèñòåìå ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû ìîãóò ñóùå-
ñòâîâàòü ñèíôàçíûå ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ ñ ÷àñòîòîé
I
ω è ïðîòèâîôàçíûå ãàðìîíè-
÷åñêèå êîëåáàíèÿ ñ ÷àñòîòîé
III
ω>ω .
Ñëåäîâàòåëüíî, â ñèñòåìå ìîãóò áûòü âîçáóæäåíû äâå ìîäû:
I ìîäà
.0/
);sin()(
);sin()(
I
01
I
02I
II
I
02
I
2
II
I
01
I
1
>=ς
ϕ+ω=
ϕ+ω=
ss
tsts
tsts
(3.3)
Ðèñ. 3.2.
s
0
1
s
0
2
k
1
k
2
k
¢
m
1
m
2
aaa
s
1
s
2
m
1
m
2
m
1
m
2
a
l
1
l
2
s
0
1
s
0
2
k
¢
à)
á) â)
48                                                                              Êîëåáàíèÿ è âîëíû
          k1      m1          k¢           m2               k2

                                                                                        a
  à)              0          s1             0                  s2                 l1                  l2
                                                                                             k¢
                                                                                                      m2
                  s1                          s2                                 m1
           a                   a                           a
  á)                   m1                   m2                                   â) 0       s1    0         s2
                                              Ðèñ. 3.2.
ñòüþ k´. Âòîðàÿ (á) — äâà ãðóçà ñ ìàññàìè m1 è m2, çàêðåïëåííûå íà íàòÿíóòîì íåêîòîðîé
ñèëîé F íåâåñîìîì ðåçèíîâîì øíóðå. Òðåòüÿ (â) — äâà ñâÿçàííûõ ïðóæèíîé k´ ðàçëè÷íûõ
ìàÿòíèêà, êàæäûé èç êîòîðûõ ñîñòîèò èç ãðóçà, ïîäâåøåííîãî íà íåâåñîìîì ñòåðæíå.
         Êîëåáàíèÿ ãðóçîâ â êàæäîé èç òðåõ ñèñòåì îïèñûâàþòñÿ äâóìÿ âðåìåííûìè
çàâèñèìîñòÿìè èõ ñìåùåíèé s1(t) è s2(t). Ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå ñìåùåíèÿ s íà
ðèñóíêå óêàçàíî ñòðåëêàìè.
        Îïûò ïîêàçûâàåò, ÷òî ïðè ïðîèçâîëüíîì ñïîñîáå âîçáóæäåíèÿ êîëåáàíèÿ íå áóäóò
ãàðìîíè÷åñêèìè: àìïëèòóäà êîëåáàíèé êàæäîé èç ìàññ áóäåò ïåðèîäè÷åñêè ìåíÿòüñÿ âî
âðåìåíè. Îäíàêî ìîæíî ñîçäàòü òàêèå íà÷àëüíûå óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ êàæäûé ãðóç
áóäåò ñîâåðøàòü ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ ñ îäíîé è òîé æå ÷àñòîòîé ω:
                                     s1 (t ) = s 01 sin(ωt + ϕ);
                                                                                                           (3.1)
                                     s 2 (t ) = s 02 sin( ωt + ϕ).
×àñòîòà ýòèõ êîëåáàíèé ω îïðåäåëÿåòñÿ ñâîéñòâàìè ñèñòåìû. Îòíîøåíèå
                                    ς = s02/s01                                    (3.2)
òàêæå îïðåäåëÿåòñÿ ïàðàìåòðàìè ñèñòåìû. Ýòà áåçðàçìåðíàÿ àëãåáðàè÷åñêàÿ âåëè÷èíà ς
íàçûâàåòñÿ êîýôôèöèåíòîì ðàñïðåäåëåíèÿ àìïëèòóä ïðè ãàðìîíè÷åñêîì êîëåáàíèè.
Îòìåòèì, ÷òî s01 è s02 ìîãóò èìåòü ëþáîé çíàê. Åñëè ς > 0, òî ñìåùåíèÿ îáåèõ ìàññ âñåãäà
ïðîèñõîäÿò â îäíó ñòîðîíó (ñèíôàçíûå êîëåáàíèÿ), à ïðè ς < 0 — â ïðîòèâîïîëîæíûå
ñòîðîíû (ïðîòèâîôàçíûå êîëåáàíèÿ). Ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ (3.1) íàçûâàþòñÿ íîðìàëü-
íûìè êîëåáàíèÿìè, èëè ìîäàìè, à ÷àñòîòà ω íàçûâàåòñÿ íîðìàëüíîé ÷àñòîòîé. Òàêèì îá-
ðàçîì, ìîäà õàðàêòåðèçóåòñÿ äâóìÿ ïàðàìåòðàìè: ÷àñòîòîé ω è êîýôôèöèåíòîì ς, îïðåäå-
ëÿþùèì «êîíôèãóðàöèþ» ìîäû.
        Ïðàêòèêà ïîêàçûâàåò, ÷òî â ñèñòåìå ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû ìîãóò ñóùå-
ñòâîâàòü ñèíôàçíûå ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ ñ ÷àñòîòîé ω I è ïðîòèâîôàçíûå ãàðìîíè-
÷åñêèå êîëåáàíèÿ ñ ÷àñòîòîé ω II > ω I .
        Ñëåäîâàòåëüíî, â ñèñòåìå ìîãóò áûòü âîçáóæäåíû äâå ìîäû:

                                           s1I (t ) = s 01
                                                        I
                                                           sin(ω I t + ϕ I );
                            I ìîäà         s 2I (t ) = s 02
                                                         I
                                                            sin(ω I t + ϕ I );                             (3.3)
                                                     I        I
                                           ςI =    s 02   / s 01    > 0.

Страницы