Колебания и волны. Алешкевич В.А - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

49
Ëåêöèÿ 3
II ìîäà
.0/
);sin()(
);sin()(
II
01
I
02II
IIII
II
02
II
2
IIII
II
01
II
1
<=ς
ϕ+ω=
ϕ+ω=
ss
tsts
tsts
I
(3.4)
Íåòðóäíî òåïåðü ïîíÿòü, ÷òî ëþáîå êîëåáàíèå ñâÿçàííîé ëèíåéíîé ñèñòåìû ñ
äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû (à èìåííî òàêèå ñèñòåìû ìû áóäåì äàëåå ðàññìàòðèâàòü) ìî-
æåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå ñóïåðïîçèöèè äâóõ íîðìàëüíûõ êîëåáàíèé (3.3) è (3.4):
).sin()sin()()()(
);sin()sin()()()(
IIII
II
02II
I
02
II
2
I
22
IIII
II
01II
I
01
II
1
I
11
ϕ+ω+ϕ+ω=+=
ϕ+ω+ϕ+ω=+=
tststststs
tststststs
(3.5)
Íå ïðèáåãàÿ ïîêà ê äåòàëüíîìó ìàòåìàòè÷åñêîìó èññëåäîâàíèþ, ïðîàíàëèçè-
ðóåì ïîâåäåíèå ñèñòåìû ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû, ïîëüçóÿñü îñíîâíûìè èäåÿìè,
ðàçâèòûìè â ïðåäûäóùèõ ëåêöèÿõ. Ïðåäñòàâèì
ëþáóþ èç ñèñòåì, èçîáðàæåííûõ íà ðèñ. 3.2, êàê
ñëîæíóþ ñèñòåìó, ñîñòîÿùóþ èç äâóõ ïàðöèàëü-
íûõ ñèñòåì. Ýòè ïàðöèàëüíûå ñèñòåìû, ñîîòâåò-
ñòâóþùèå ñëó÷àþ (à) ðèñ. 3.2, ïîêàçàíû íà
ðèñ.3.3: êàæäàÿ èç ýòèõ ïàðöèàëüíûõ ñèñòåì
èìååò ñîáñòâåííóþ ÷àñòîòó êîëåáàíèé, êîòîðàÿ
íàçûâàåòñÿ ïàðöèàëüíîé ÷àñòîòîé.
Âåëè÷èíû ýòèõ ïàðöèàëüíûõ ÷àñòîò, ñîîòâåòñòâåííî, ðàâíû:
1
1
1
m
kk
′
+
=ω
;
2
2
2
m
kk
′
+
=ω
. (3.6)
Ñîâåðøåííî î÷åâèäíî, ÷òî ÷àñòîòà
1
ω ýòî ÷àñòîòà êîëåáàíèé ìàññû
1
m
â ñèñòåìå äâóõ ñâÿçàííûõ ìàÿòíèêîâ, êîãäà ìàññà
2
m
íåïîäâèæíà (çàáëîêèðîâàíà
âòîðàÿ ñòåïåíü ñâîáîäû). Àíàëîãè÷íî, ñ ÷àñòîòîé
2
ω
áóäåò êîëåáàòüñÿ ìàññà
2
m
,
êîãäà íåïîäâèæíà ìàññà
1
m
.
Òåïåðü ïåðåéäåì ê îïðåäåëåíèþ íîðìàëüíûõ ÷àñòîò
I
ω è
II
ω . Âñïîìíèì, ÷òî
êâàäðàò ÷àñòîòû ãàðìîíè÷åñêèõ
êîëåáàíèé ðàâåí îòíîøåíèþ âîç-
âðàùàþùåé ñèëû ê ñìåùåíèþ ãðó-
çà s è âåëè÷èíå åãî ìàññû m. Ïîä-
áåðåì íà÷àëüíûå ñìåùåíèÿ ìàññ
1
m
è
2
m
òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû äëÿ
îáåèõ ìàññ ýòè îòíîøåíèÿ (à, ñëå-
äîâàòåëüíî, è ÷àñòîòû) áûëè áû
îäèíàêîâû. Òàêîé ïîäáîð ëåãêî
óãàäûâàåòñÿ äëÿ ñèììåòðè÷íîé
ñèñòåìû (m
1
= m
2
= m, k
1
= k
2
= k),
(ðèñ. 3.4), ó êîòîðîé ïàðöèàëüíûå
÷àñòîòû ñîâïàäàþò:
k
1
k
¢
m
1
k
2
k ¢ m
2
Ðèñ. 3.3.
kk
¢
mm
s
0
21
s
0
01
s
I
02
s
I
s
0
21
s
0
01
s
II
02
s
II
k
à)
á)
â)
Ðèñ. 3.4.
Ëåêöèÿ 3                                                                                                                49

                                                 s1II (t ) = s 01
                                                               II
                                                                  sin(ω II t + ϕ II );
                              II ìîäà            s 2II (t ) = s 02
                                                                II
                                                                   sin( ω II t + ϕ II );                            (3.4)
                                                           II       II
                                   ς II =     < 0.       s 02   / s 01
        Íåòðóäíî òåïåðü ïîíÿòü, ÷òî ëþáîå êîëåáàíèå ñâÿçàííîé ëèíåéíîé ñèñòåìû ñ
äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû (à èìåííî òàêèå ñèñòåìû ìû áóäåì äàëåå ðàññìàòðèâàòü) ìî-
æåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå ñóïåðïîçèöèè äâóõ íîðìàëüíûõ êîëåáàíèé (3.3) è (3.4):
                s1 (t ) = s1I (t ) + s1II (t ) = s 01
                                                   I                        II
                                                      sin(ω I t + ϕ I ) + s 01 sin(ω II t + ϕ II );
                                                                                                                    (3.5)
                s 2 (t ) = s 2I (t ) + s 2II (t ) = s 02
                                                      I                        II
                                                         sin(ω I t + ϕ I ) + s 02 sin(ω II t + ϕ II ).
         Íå ïðèáåãàÿ ïîêà ê äåòàëüíîìó ìàòåìàòè÷åñêîìó èññëåäîâàíèþ, ïðîàíàëèçè-
ðóåì ïîâåäåíèå ñèñòåìû ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû, ïîëüçóÿñü îñíîâíûìè èäåÿìè,
ðàçâèòûìè â ïðåäûäóùèõ ëåêöèÿõ. Ïðåäñòàâèì
                                                     k1     m1        k¢
ëþáóþ èç ñèñòåì, èçîáðàæåííûõ íà ðèñ. 3.2, êàê
ñëîæíóþ ñèñòåìó, ñîñòîÿùóþ èç äâóõ ïàðöèàëü-
íûõ ñèñòåì. Ýòè ïàðöèàëüíûå ñèñòåìû, ñîîòâåò-
                                                        k¢      m2       k2
ñòâóþùèå ñëó÷àþ (à) ðèñ. 3.2, ïîêàçàíû íà
ðèñ. 3.3: êàæäàÿ èç ýòèõ ïàðöèàëüíûõ ñèñòåì
èìååò ñîáñòâåííóþ ÷àñòîòó êîëåáàíèé, êîòîðàÿ
                                                            Ðèñ. 3.3.
íàçûâàåòñÿ ïàðöèàëüíîé ÷àñòîòîé.
        Âåëè÷èíû ýòèõ ïàðöèàëüíûõ ÷àñòîò, ñîîòâåòñòâåííî, ðàâíû:
                                             k1 + k ′                    k2 + k ′
                                   ω1 =               ; ω2 =                      .                                 (3.6)
                                               m1                          m2
        Ñîâåðøåííî î÷åâèäíî, ÷òî ÷àñòîòà ω1 — ýòî ÷àñòîòà êîëåáàíèé ìàññû m1
â ñèñòåìå äâóõ ñâÿçàííûõ ìàÿòíèêîâ, êîãäà ìàññà m2 íåïîäâèæíà (çàáëîêèðîâàíà
âòîðàÿ ñòåïåíü ñâîáîäû). Àíàëîãè÷íî, ñ ÷àñòîòîé ω 2 áóäåò êîëåáàòüñÿ ìàññà m2 ,
êîãäà íåïîäâèæíà ìàññà m1 .
        Òåïåðü ïåðåéäåì ê îïðåäåëåíèþ íîðìàëüíûõ ÷àñòîò ω I è ω II . Âñïîìíèì, ÷òî
êâàäðàò ÷àñòîòû ãàðìîíè÷åñêèõ
                                                          k              m             k¢             m        k
êîëåáàíèé ðàâåí îòíîøåíèþ âîç-
âðàùàþùåé ñèëû ê ñìåùåíèþ ãðó-
çà s è âåëè÷èíå åãî ìàññû m. Ïîä-              à)
áåðåì íà÷àëüíûå ñìåùåíèÿ ìàññ
m1 è m2 òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû äëÿ
îáåèõ ìàññ ýòè îòíîøåíèÿ (à, ñëå-
äîâàòåëüíî, è ÷àñòîòû) áûëè áû                 á)                        0 s01
                                                                            I
                                                                                      s1              0 s 02
                                                                                                          I
                                                                                                                   s2
îäèíàêîâû. Òàêîé ïîäáîð ëåãêî
óãàäûâàåòñÿ äëÿ ñèììåòðè÷íîé
ñèñòåìû (m1 = m2 = m, k1 = k2 = k),
(ðèñ. 3.4), ó êîòîðîé ïàðöèàëüíûå              â)                s01
                                                                  II
                                                                     0             s1                 0   s02
                                                                                                           II
                                                                                                              s2
÷àñòîòû ñîâïàäàþò:                                                               Ðèñ. 3.4.

Страницы