Колебания и волны. Алешкевич В.А - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

51
Ëåêöèÿ 3
ïðîòèâîôàçíûõ êîëåáàíèé, âîçíèêàþùèõ ïðè îòïóñêàíèè ãðóçîâ â ïîçèöèè (ã). Ñìåùåíèÿ
îáîèõ ãðóçîâ ñ òå÷åíèåì âðåìåíè áóäóò îïèñûâàòüñÿ ôîðìóëàìè (3.5), â êîòîðûõ àìïëèòó-
äû îïðåäåëÿþòñÿ ðàâåíñòâàìè (3.10) è (3.11), à íà÷àëüíûå ôàçû
2/
III
π=ϕ=ϕ .
Ïðîàíàëèçèðóåì áîëåå ïîäðîáíî êîëåáàíèÿ â ñèñòåìå, èçîáðàæåííîé íà ðèñ.3.5.
Ïóñòü ìû ñäâèíóëè ëåâóþ ìàññó âïðàâî íà ðàññòîÿíèå
01
s
, à ïðàâóþ ìàññó îñòàâèëè â
íåñìåùåííîì ïîëîæåíèè
)0(
02
=s
. Ïîñëå îòïóñêàíèÿ îáîèõ ãðóçîâ â ñèñòåìå âîçíèê-
íóò êîëåáàíèÿ. Èç (3.10) è (3.11) îïðåäåëÿåì àìïëèòóäû ìîä:
2/
01
I
02
I
01
sss ==
;
2/
01
II
02
II
01
sss −==−
. Ïîñêîëüêó ôàçû
2/
III
π=ϕ=ϕ (ò.ê. íà÷àëüíûå ñêîðîñòè ó ãðóçîâ
îòñóòñòâóþò), òî ñìåùåíèÿ
.cos
2
cos
2
)(
;cos
2
cos
2
)(
II
01
I
01
2
II
01
I
01
1
t
s
t
s
ts
t
s
t
s
ts
ω−ω=
ω+ω=
(3.12)
Ïðîèçâîäÿ ñóììèðîâàíèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé â (3.12), ïîëó÷èì:
.
2
cos
2
sin)(
;
2
cos
2
cos)(
IIIIII
012
IIIIII
011
ttsts
ttsts
ω+ω
⋅
ω−ω
=
ω+ω
⋅
ω−ω
=
(3.13)
Âðåìåííûå çàâèñèìîñòè (3.13) èçîáðàæåíû íà ðèñ. 3.6.
Ðèñ. 3.6.
s
0
t
T
Á
T
1
s
0
t
2
Ëåêöèÿ 3                                                                                     51
ïðîòèâîôàçíûõ êîëåáàíèé, âîçíèêàþùèõ ïðè îòïóñêàíèè ãðóçîâ â ïîçèöèè (ã). Ñìåùåíèÿ
îáîèõ ãðóçîâ ñ òå÷åíèåì âðåìåíè áóäóò îïèñûâàòüñÿ ôîðìóëàìè (3.5), â êîòîðûõ àìïëèòó-
äû îïðåäåëÿþòñÿ ðàâåíñòâàìè (3.10) è (3.11), à íà÷àëüíûå ôàçû ϕ I = ϕ II = π / 2 .
         Ïðîàíàëèçèðóåì áîëåå ïîäðîáíî êîëåáàíèÿ â ñèñòåìå, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 3.5.
Ïóñòü ìû ñäâèíóëè ëåâóþ ìàññó âïðàâî íà ðàññòîÿíèå s 01 , à ïðàâóþ ìàññó îñòàâèëè â
íåñìåùåííîì ïîëîæåíèè ( s 02 = 0) . Ïîñëå îòïóñêàíèÿ îáîèõ ãðóçîâ â ñèñòåìå âîçíèê-
                                                                    I     I
íóò êîëåáàíèÿ. Èç (3.10) è (3.11) îïðåäåëÿåì àìïëèòóäû ìîä: s 01      = s 02 = s 01 / 2 ;
    II     II
− s 01 = s 02 = − s 01 / 2 . Ïîñêîëüêó ôàçû ϕ I = ϕ II = π / 2 (ò.ê. íà÷àëüíûå ñêîðîñòè ó ãðóçîâ
îòñóòñòâóþò), òî ñìåùåíèÿ

                                    s 01            s
                               s1 (t ) = cos ω I t + 01 cos ω II t ;
                                     2                2
                                                                           (3.12)
                                    s                s
                          s 2 (t ) = 01 cos ω I t − 01 cos ω II t.
                                      2               2
         Ïðîèçâîäÿ ñóììèðîâàíèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé â (3.12), ïîëó÷èì:

                                          ω II − ω I        ω + ωI
                           s1 (t ) = s 01 cos        t ⋅ cos II    t;
                                               2                2
                                                                                           (3.13)
                                          ω − ωI            ω + ωI
                       s 2 (t ) = s 01 sin II        t ⋅ cos II    t.
                                               2                2
         Âðåìåííûå çàâèñèìîñòè (3.13) èçîáðàæåíû íà ðèñ. 3.6.
        s1
                                                            TÁ




         0
                                                                                       t




                                                            T
        s2




         0
                                                                                       t




                                                Ðèñ. 3.6.

Страницы