Колебания и волны. Алешкевич В.А - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Êîëåáàíèÿ è âîëíû
52
Âèäíî, ÷òî êîëåáàíèÿ êàæäîé èç ìàññ èìåþò ôîðìó áèåíèé. Ïåðèîä ýòèõ áèå-
íèé ðàâåí
1)
áIII
á
22
Ω
π
=
ω−ω
π
=
T
, (3.14)
ãäå ÷àñòîòà áèåíèé
IIIá
ω−ω=ω∆=Ω
. (3.15)
Åñëè ââåñòè ñðåäíþþ ÷àñòîòó
2
III
0
ω+ω
=ω
, (3.16)
òî ñ ýòîé ÷àñòîòîé ñâÿçàí ïåðèîä êîëåáàíèé
0
2
ω
π
=
Ò
.
Åñëè ÷àñòîòà áèåíèé
0á
ω<<Ω
, êàê ýòî èçîáðàæåíî íà ðèñ. 3.6, òî
TÒ >>
á
. Â
ýòîì ñëó÷àå êîëåáàíèÿ îáîèõ ãðóçîâ áóäóò ïî÷òè ãàðìîíè÷åñêèìè (êâàçèãàðìîíè÷åñêè-
ìè). Åñëè ïåðåïèñàòü (3.13) ñ èñïîëüçîâàíèåì ñðåäíåé ÷àñòîòû
0
ω è ÷àñòîòû áèåíèé
á
Ω â âèäå:
;cos)(cos
2
sin)(
;cos)(cos
2
cos)(
020
á
012
010
á
011
ttAttsts
ttAttsts
ω=ω
Ω
=
ω=ω
Ω
=
(3.17)
òî ïðè
0á
ω<<Ω êîëåáàíèÿ (3.17) ìîæíî òðàêòîâàòü êàê êîëåáàíèÿ ñ ÷àñòîòîé
0
ω è
ìåäëåííî ìåíÿþùåéñÿ àìïëèòóäîé A(t).
 òåîðèè êîëåáàíèé è â äðóãèõ ðàç-
äåëàõ ôèçèêè äëÿ àíàëèçà êîëåáàòåëüíîãî
ïðîöåññà èñïîëüçóþò ñïåêòðàëüíîå ïðåäñòàâ-
ëåíèå, èëè ñïåêòð êîëåáàíèé. Ýòîò ñïåêòð
èçîáðàæàþò ãðàôè÷åñêè: ïî îñè àáñöèññ óêà-
çûâàþò ÷àñòîòû êîëåáàíèé, à ïî îñè îðäèíàò
îòêëàäûâàþò êâàäðàòû èõ àìïëèòóä. Òàê, â
÷àñòíîñòè, äëÿ êîëåáàíèé, èçîáðàæåííûõ íà
ðèñ. 3.6 (
1
s
èëè
2
s
) è îïèñûâàåìûõ ôîðìó-
ëàìè (3.17), ëåãêî íàðèñîâàòü ñïåêòð, ïî-
ñêîëüêó óæå èçâåñòíî ñïåêòðàëüíîå ðàçëîæå-
íèå ýòîãî êîëåáàíèÿ (ïðåäñòàâëåíèå â âèäå ñóììû ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé), çàäàâàå-
ìîå ôîðìóëàìè (3.12).
Òàêîé ñïåêòð èçîáðàæåí íà ðèñ. 3.7.
1)
Êîëåáàíèÿ (3.12), âîîáùå ãîâîðÿ, íå ÿâëÿþòñÿ ïåðèîäè÷åñêèìè, ò.å. íåëüçÿ óêàçàòü òàêîå âðåìÿ
T*, ñïóñòÿ êîòîðîå îíè òî÷íî ïîâòîðÿþòñÿ (îòíîøåíèå ÷àñòîò
ωω
III
/
 ÷àùå âñåãî èððàöèîíàëü-
íîå ÷èñëî, à ñëó÷àè èõ ðàöèîíàëüíîãî îòíîøåíèÿ:
mnωω
III
= áóäóò èñ÷åçàþùå ðåäêè). Ïîýòîìó
ïåðèîäîì áèåíèé T
á
ìû íàçûâàåì ïåðèîä (3.14) ïîâòîðåíèÿ îãèáàþùåé ñóììàðíîãî êîëåáàíèÿ,
ðàâíûé ïîëîâèíå ïåðèîäà êîëåáàíèÿ ñ ÷àñòîòîé
ωω
II I
−
2
, à
Ω
á
á
II I
==−
2
π
ωω
T
.
Ðèñ. 3.7.
w
s
01
w
0
w
I
4
2
w
II
Dw
s
0
2
52                                                                  Êîëåáàíèÿ è âîëíû

        Âèäíî, ÷òî êîëåáàíèÿ êàæäîé èç ìàññ èìåþò ôîðìó áèåíèé. Ïåðèîä ýòèõ áèå-
íèé ðàâåí 1)
                                                   2π      2π
                                       Tá =              =    ,                          (3.14)
                                               ω II − ω I Ω á
ãäå ÷àñòîòà áèåíèé
                                        Ω á = ∆ω = ω II − ω I .                          (3.15)
          Åñëè ââåñòè ñðåäíþþ ÷àñòîòó
                                         ω I + ω II
                                           ω0 =     ,                            (3.16)
                                             2
                                                  2π
òî ñ ýòîé ÷àñòîòîé ñâÿçàí ïåðèîä êîëåáàíèé Ò =        .
                                                  ω0
         Åñëè ÷àñòîòà áèåíèé Ω á << ω0 , êàê ýòî èçîáðàæåíî íà ðèñ. 3.6, òî Ò á >> T . Â
ýòîì ñëó÷àå êîëåáàíèÿ îáîèõ ãðóçîâ áóäóò ïî÷òè ãàðìîíè÷åñêèìè (êâàçèãàðìîíè÷åñêè-
ìè). Åñëè ïåðåïèñàòü (3.13) ñ èñïîëüçîâàíèåì ñðåäíåé ÷àñòîòû ω0 è ÷àñòîòû áèåíèé
Ω á â âèäå:
                                        Ωá
                          s1 (t ) = s 01 cos
                                           t cos ω0 t = A1 (t ) cos ω 0 t ;
                                         2
                                        Ω                                   (3.17)
                     s 2 (t ) = s 01 sin á t cos ω0 t = A2 (t ) cos ω0 t ;
                                         2
òî ïðè Ω á << ω0 êîëåáàíèÿ (3.17) ìîæíî òðàêòîâàòü êàê êîëåáàíèÿ ñ ÷àñòîòîé ω0 è
ìåäëåííî ìåíÿþùåéñÿ àìïëèòóäîé A(t).
 s 02                                                       Â òåîðèè êîëåáàíèé è â äðóãèõ ðàç-
 s   2                                              äåëàõ ôèçèêè äëÿ àíàëèçà êîëåáàòåëüíîãî
     01
 4                                                  ïðîöåññà èñïîëüçóþò ñïåêòðàëüíîå ïðåäñòàâ-
                                                    ëåíèå, èëè ñïåêòð êîëåáàíèé. Ýòîò ñïåêòð
                                                    èçîáðàæàþò ãðàôè÷åñêè: ïî îñè àáñöèññ óêà-
                                                    çûâàþò ÷àñòîòû êîëåáàíèé, à ïî îñè îðäèíàò
                     Dw
                                                    îòêëàäûâàþò êâàäðàòû èõ àìïëèòóä. Òàê, â
                                                    ÷àñòíîñòè, äëÿ êîëåáàíèé, èçîáðàæåííûõ íà
                                                    ðèñ. 3.6 ( s1 èëè s 2 ) è îïèñûâàåìûõ ôîðìó-
                 wI w 0 wII                    w
                                          ëàìè (3.17), ëåãêî íàðèñîâàòü ñïåêòð, ïî-
                 Ðèñ. 3.7.                ñêîëüêó óæå èçâåñòíî ñïåêòðàëüíîå ðàçëîæå-
íèå ýòîãî êîëåáàíèÿ (ïðåäñòàâëåíèå â âèäå ñóììû ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé), çàäàâàå-
ìîå ôîðìóëàìè (3.12).
        Òàêîé ñïåêòð èçîáðàæåí íà ðèñ. 3.7.

1)Êîëåáàíèÿ (3.12), âîîáùå ãîâîðÿ, íå ÿâëÿþòñÿ ïåðèîäè÷åñêèìè, ò.å. íåëüçÿ óêàçàòü òàêîå âðåìÿ
T*, ñïóñòÿ êîòîðîå îíè òî÷íî ïîâòîðÿþòñÿ (îòíîøåíèå ÷àñòîò ω I / ω II
                                                                      – ÷àùå âñåãî èððàöèîíàëü-
                                                 mω I = nω II áóäóò èñ÷åçàþùå ðåäêè). Ïîýòîìó
íîå ÷èñëî, à ñëó÷àè èõ ðàöèîíàëüíîãî îòíîøåíèÿ:
ïåðèîäîì áèåíèé Tá ìû íàçûâàåì ïåðèîä (3.14) ïîâòîðåíèÿ îãèáàþùåé ñóììàðíîãî êîëåáàíèÿ,
                                               ω − ωI             2π
ðàâíûé ïîëîâèíå ïåðèîäà êîëåáàíèÿ ñ ÷àñòîòîé II             Ωá =       = ω II − ω I .
                                                  2     ,à        Tá

Страницы