Колебания и волны. Алешкевич В.А - 55 стр.

54                                                                                Êîëåáàíèÿ è âîëíû

         Çàïèøåì óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ äâóõ ñâÿçàííûõ ïðóæèííûõ ìàÿòíèêîâ â âèäå:
                                      m1&s&1 = −k1s1 − k ′s1 + k ′s 2 ;
                                                                                               (3.20)
                                      m2 &s&2 = −k 2 s2 − k ′s 2 + k ′s1.
         Ðàçäåëèâ ïåðâîå óðàâíåíèå íà m1 , à âòîðîå — íà m2 è èñïîëüçóÿ âûðàæåíèÿ
(3.6) äëÿ ïàðöèàëüíûõ ÷àñòîò, ïåðåïèøåì (3.20) ñëåäóþùèì îáðàçîì:
                                            &s&1 = −ω12 s1 − α1s 2 ,
                                                                                               (3.21)
                                            &s&2 = −α 2 s1 − ω 22 s 2 ,
ãäå α1 = −k ′ / m1 , α 2 = −k ′ / m2 — êîýôôèöèåíòû, çàâèñÿùèå îò æåñòêîñòè k ′ ïðóæèíû ñâÿ-
çè. Îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî óðàâíåíèÿ (3.21) íå ìîãóò ðåøàòüñÿ ïî îòäåëüíîñòè, ò.ê. êàæäîå
èç íèõ ñîäåðæèò s1 è s 2 . Ïîýòîìó öåëåñîîáðàçíî ïåðåéòè îò ñìåùåíèé s1 è s 2 ê íîâûì
ôóíêöèÿì ξ1 è ξ 2 , íàçûâàåìûì íîðìàëüíûìè êîîðäèíàòàìè. Ñìûñë ïåðåõîäà ñîñòîèò â
ïîëó÷åíèè äâóõ íåçàâèñèìûõ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ, êîòîðûå ìîæíî ðåøàòü ïî îòäåëüíîñòè.
         Îäíàêî, â îáùåì ñëó÷àå ýòè êîîðäèíàòû íàéòè íå ïðîñòî. Ïîýòîìó äëÿ èëëþñ-
òðàöèè òàêîãî ïåðåõîäà ðàññìîòðèì ñèñòåìó ñ îäèíàêîâûìè ìàññàìè (m1 = m2 = m) è

ïðóæèíàìè ( k1 = k 2 = k ) .      Ïîñêîëüêó ïàðöèàëüíûå ÷àñòîòû ñîâïàäàþò (ω1 = ω2 = ω =
    k + k′                              k′
=          ), à òàêæå α1 = α 2 = α = − , òî ñèñòåìà óðàâíåíèé (3.21) ñòàíîâèòñÿ áîëåå
      m                                 m
ïðîñòîé. Ñëîæèâ îáà óðàâíåíèÿ, ïîëó÷àåì:
                                    &ξ& = −(ω 2 + α )ξ ,                      (3.22à)
                                              1                     1
ãäå ξ1 = s1 + s2 — ïåðâàÿ íîðìàëüíàÿ êîîðäèíàòà. Âû÷èòàÿ âòîðîå óðàâíåíèå èç ïåðâî-
ãî, íàõîäèì:
                                            &ξ& = −(ω2 − α)ξ ,                                (3.22á)
                                               2            2
ãäå ξ 2 = s1 − s 2 — âòîðàÿ íîðìàëüíàÿ êîîðäèíàòà. Òåïåðü óðàâíåíèÿ (3.22) íåçàâèñèìû.
Ïåðâîå èç íèõ îïèñûâàåò êîëåáàíèå öåíòðà ìàññ ñèñòåìû ñ ÷àñòîòîé
                                           k′
                                              ,ω 2I = ω 2 −              (3.23)
                                           m
ìåíüøåé ïàðöèàëüíîé ÷àñòîòû ω . Âòîðîå óðàâíåíèå îïèñûâàåò èçìåíåíèå ðàññòîÿíèÿ
ìåæäó äâóìÿ ìàññàìè ñ ÷àñòîòîé
                                         k′
                                            ,  ω 2II = ω 2 +                                   (3.24)
                                         m
ïðåâûøàþùåé ïàðöèàëüíóþ ÷àñòîòó. Ðåøåíèÿ óðàâíåíèé (3.22) î÷åâèäíû:
                              ξ1 (t ) = s1 (t ) + s 2 (t ) = ξ 01 sin(ω I t + ϕ I ) ;         (3.25à)
                             ξ 2 (t ) = s1 (t ) − s 2 (t ) = ξ 02 sin(ω II t + ϕ II ) .       (3.25á)
         Âîçâðàùàÿñü ê ôóíêöèÿì s1 è s 2 , ïîëó÷àåì:
                                ξ                        ξ
                     s1 (t ) = 01 sin(ω I t + ϕ I ) + 02 sin(ω II t + ϕ II ) ;                (3.26à)
                                 2                        2
                                ξ 01                     ξ 02
                     s 2 (t ) =      sin(ω I t + ϕ I ) −      sin(ω II t + ϕ II ) .           (3.26á)
                                  2                        2