Колебания и волны. Алешкевич В.А - 57 стр.

56                                                                          Êîëåáàíèÿ è âîëíû

                                                Áåçðàçìåðíûé êîýôôèöèåíò ñâÿçè γ
0     w I w1 w2            w II     w ìåæäó äâóìÿ ñèñòåìàìè ìîæåò ïðèíèìàòü çíà÷å-
              Ðèñ. 3.9.                 íèÿ 0 < γ < 1 . Åñëè èç (3.31) îïðåäåëèòü íîðìàëü-
íûå ÷àñòîòû ω I è ω II , òî îíè áóäóò âûðàæàòüñÿ ÷åðåç ïàðöèàëüíûå ÷àñòîòû ω1 è ω 2 è
êîýôôèöèåíò γ . Ýòè ÷åòûðå ÷àñòîòû áóäóò ðàñïîëàãàòüñÿ íà îñè ÷àñòîò â ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòè, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 3.9.
         Ïðè ñëàáîé ñâÿçè ( γ << 1) íîðìàëüíûå ÷àñòîòû áëèçêè ê ïàðöèàëüíûì, à ïðè
ñèëüíîé ñâÿçè (γ 1) ðàçëè÷èå â ÷àñòîòàõ ñòàíîâèòñÿ ñóùåñòâåííûì. Ýòî õîðîøî âèä-
íî, åñëè ïàðöèàëüíûå ÷àñòîòû ñîâïàäàþò (ω1 = ω2 = ω0). Òîãäà (3.31) ïðèìåò âèä:
                                     (ω02 − ω 2 ) 2 − γ 2 ω04 = 0 .
         Îòñþäà
                          ω 2I = ω02 (1 − γ ) ,           ω 2II = ω 02 (1 + γ ) .         (3.33)

        Çàòóõàíèå êîëåáàíèé. Åñëè ýíåðãèÿ íå ïîäâîäèòñÿ èçâíå, òî êîëåáàíèÿ ñâÿçàí-
íûõ îñöèëëÿòîðîâ áóäóò çàòóõàòü. Ïîñêîëüêó ñèëà âÿçêîãî òðåíèÿ ïðîïîðöèîíàëüíà ñêî-
ðîñòè, òî óðàâíåíèÿ (3.21) ñ ó÷åòîì çàòóõàíèÿ ïðèìóò âèä:
                               &s&1 = −ω12 s1 − 2δ1s&1 − α1s 2 ,
                                                                             (3.34)
                               &s&2 = −α 2 s1 − ω 22 s 2 − 2δ 2 s&2 .
        Çäåñü δ1 = Γ1 / 2m1 è δ 2 = Γ2 / 2m2 — êîýôôèöèåíòû çàòóõàíèÿ äëÿ ïåðâîãî è
âòîðîãî îñöèëëÿòîðîâ. Åñëè èñêàòü ðåøåíèå ýòîé ñèñòåìû â âèäå íîðìàëüíûõ çàòóõàþ-
ùèõ êîëåáàíèé:
             s1 (t ) = s01e −δt sin(ωt + ϕ) ,             s2 (t ) = s02 e −δt sin(ωt + ϕ) , (3.35)
òî ïîñëå ïîäñòàíîâêè (3.35) â (3.34) ìîæíî íàéòè íîðìàëüíóþ ÷àñòîòó ω , êîýôôèöèåíò
çàòóõàíèÿ δ è êîíôèãóðàöèþ ς êàæäîé èç äâóõ ìîä. Îïóñêàÿ ïðîìåæóòî÷íûå âûêëàä-
êè, îòìåòèì, ÷òî ïðè ω1 >> δ1 è ω 2 >> δ 2 (ñëàáîå çàòóõàíèå) íîðìàëüíûå ÷àñòîòû è
ðàñïðåäåëåíèå àìïëèòóä â ìîäàõ áóäóò áëèçêè ê òåì, ÷òî è â îòñóòñòâèå çàòóõàíèÿ. Äëÿ
êîýôôèöèåíòà çàòóõàíèÿ δ ïîëó÷àåòñÿ âûðàæåíèå:
                                     (ω 2 − ω 2 )δ1 + (ω 22 − ω 2 )δ 2
                                 δ= 1 2                                 .                   (3.36)
                                        (ω1 − ω 2 ) + (ω 22 − ω 2 )
        Ìîæíî âèäåòü, ÷òî ïðè ïðîèçâîëüíîì ñîîòíîøåíèè ìåæäó ω1 , ω 2 , δ1 è δ 2
êîýôôèöèåíòû çàòóõàíèÿ ìîä δ I è δ II , ïîëó÷àåìûå èç (3.36) ïðè ω = ω I è ω = ω II ,
áóäóò ðàçëè÷íûìè.
        Åñëè ïàðöèàëüíûå ÷àñòîòû ñîâïàäàþò (ω1 = ω 2 ) , òî
                                                   1
                                      δ I = δ II = (δ I + δ II ) .                          (3.37)
                                                   2
        Åñëè ω1 ≠ ω2 , à δ1 = δ 2 = δ , òî
                                            δ I = δ II = δ .                                (3.38)
        Ïîñëåäíèì ðåçóëüòàòîì ìû âîñïîëüçóåìñÿ ïðè ðàññìîòðåíèè äèññèïàöèè ýíåð-
ãèè â ñâÿçàííîé êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìå.

       Ýíåðãèÿ êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìû è åå äèññèïàöèÿ. Ðàññìîòðèì êîëåáàíèÿ äâóõ
îäèíàêîâûõ ìàññ (ðèñ. 3.10à), çàêðåïëåííûõ íà ðàñòÿíóòîì ëåãêîì ðåçèíîâîì øíóðå.