Колебания и волны. Алешкевич В.А - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

57
Ëåêöèÿ 3
Åñëè îäèí èç ãðóçîâ
îòòÿíóòü íà ðàññòîÿíèå
0
2
s
(á) è çàòåì îäíîâðåìåííî îò-
ïóñòèòü îáå ìàññû, òî èõ êî-
ëåáàíèÿ áóäóò èìåòü âèä áè-
åíèé. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïðè
ýòèõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ áó-
äóò âîçáóæäåíû äâå ìîäû (â
è ã) ñ îäèíàêîâûìè àìïëèòó-
äàìè êîëåáàíèé îáåèõ ìàññ,
ðàâíûìè
0
s
. Ýíåðãèÿ, çàïà-
ñåííàÿ â ïåðâîé ìîäå, ðàâíà
ñóììå êèíåòè÷åñêèõ ýíåðãèé
îáåèõ ìàññ ïðè ïðîõîæäåíèè èìè ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ñî ñêîðîñòüþ
I0
I
0
ω= sv
, ò.å.:
2
I
2
0
2I
0
I
0
)(
2
2
ω==
ms
m
E v
, (3.39à)
à ýíåðãèÿ âòîðîé ìîäû, àíàëîãè÷íî, ðàâíà
.)(
2
2
2
II
2
0
2II
0
II
0
ω==
ms
m
E v
(3.39á)
Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî ýíåðãîîáìåí ìåæäó ìîäàìè îòñóòñòâóåò, à ïîëíàÿ ýíåðãèÿ
ñèñòåìû ðàâíà ñóììå ýíåðãèé åå ìîä. Â òî æå âðåìÿ â ïðîöåññå áèåíèé ýíåðãèÿ ïåðâîãî
îñöèëëÿòîðà çà âðåìÿ, ðàâíîå ïîëîâèíå ïåðèîäà áèåíèé, «ïåðåòåêàåò» êî âòîðîìó îñ-
öèëëÿòîðó è çàòåì çà òàêîå æå âðåìÿ âîçâðàùàåòñÿ îáðàòíî. Ïîëíûé ýíåðãîîáìåí ìåæ-
äó îñöèëëÿòîðàìè âîçìîæåí ëèøü òîãäà, êîãäà îáå ìàññû îäèíàêîâû è îòíîøåíèå
)/()(
IIIIII
ω−ωω+ω ðàâíî öåëîìó ÷èñëó n, ò.å.:
.
2
á
0
III
III
n=
Ω
ω
=
ω−ω
ω+ω
(3.40)
Ñëåäîâàòåëüíî, ÷àñòîòà
0
ω äîëæíà áûòü êðàòíîé ÷àñòîòå áèåíèé.  ñàìîì äåëå,
ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (3.40) êàæäàÿ èç ìàññ áóäåò ïåðèîäè÷åñêè îñòàíàâëèâàòüñÿ â
ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ (êàê ñëåäóåò èç ôîðìóë (3.17)). Ñ òå÷åíèåì âðåìåíè êîëåáàíèÿ
áóäóò çàòóõàòü, è áóäåò ýêñïîíåíöèàëüíî óìåíüøàòüñÿ ýíåðãèÿ, çàïàñåííàÿ â ìîäàõ:
,)(
2I
0
2
I
22
0
I
tt
eEemstE
δ−δ−
=ω=
(3.41à)
.)(
2II
0
2
II
22
0
II
tt
eEemstE
δ−δ−
=ω=
(3.41á)
Âàæíî ïîä÷åðêíóòü, ÷òî ÷åðåç âðåìÿ
δ
=τ
2
1
E
ýíåðãèÿ êàæäîé èç ìîä óìåíü-
øèòñÿ â å ðàç, ïðè ýòîì ïðîòèâîôàçíàÿ ìîäà «ïîòåðÿåò» áîëüøå ýíåðãèè, ÷åì ñèíôàçíàÿ,
ïîñêîëüêó íà÷àëüíàÿ ýíåðãèÿ
II
0
E
ó íåå áûëà áîëüøå, ÷åì
I
0
E
(ñì. (3.39)).
Âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ. Ðàññìîòðèì îñíîâíûå çàêîíîìåðíîñòè âûíóæäåí-
íûõ óñòàíîâèâøèõñÿ êîëåáàíèé â ñèñòåìå, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 3.11, åñëè íà ëåâóþ
ìàññó
1
m
äåéñòâóåò ñèëà F(t)=F
0
sin ωt. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ â ýòîì ñëó÷àå áóäóò îòëè-
÷àòüñÿ îò (3.34) íàëè÷èåì ýòîé ñèëû â ïðàâîé ÷àñòè ïåðâîãî óðàâíåíèÿ:
Ðèñ. 3.10.
a aamm
2s
0
s
0
s
0
s
0
à)
á)
â)
ã)
s
0
Ëåêöèÿ 3                                                                                                57
        Åñëè îäèí èç ãðóçîâ                     a              m                    a   m        a
îòòÿíóòü íà ðàññòîÿíèå 2s 0
(á) è çàòåì îäíîâðåìåííî îò-          à)
ïóñòèòü îáå ìàññû, òî èõ êî-
ëåáàíèÿ áóäóò èìåòü âèä áè-
                                                                   2s0
åíèé. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïðè           á)
ýòèõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ áó-
äóò âîçáóæäåíû äâå ìîäû (â
                                                                     s0                     s0
è ã) ñ îäèíàêîâûìè àìïëèòó-           â)
                                                                                            s0
äàìè êîëåáàíèé îáåèõ ìàññ,
ðàâíûìè s 0 . Ýíåðãèÿ, çàïà-                                          s0
ñåííàÿ â ïåðâîé ìîäå, ðàâíà           ã)
ñóììå êèíåòè÷åñêèõ ýíåðãèé                                                 Ðèñ. 3.10.
îáåèõ ìàññ ïðè ïðîõîæäåíèè èìè ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ñî ñêîðîñòüþ v 0I = s 0 ωI , ò.å.:
                                      m
                              E 0I = 2 (v 0I ) 2 = ms 02 ω 2I ,                 (3.39à)
                                      2
à ýíåðãèÿ âòîðîé ìîäû, àíàëîãè÷íî, ðàâíà
                                      m
                             E 0II = 2 (v 0II ) 2 = ms 02 ω 2II .               (3.39á)
                                      2
        Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî ýíåðãîîáìåí ìåæäó ìîäàìè îòñóòñòâóåò, à ïîëíàÿ ýíåðãèÿ
ñèñòåìû ðàâíà ñóììå ýíåðãèé åå ìîä. Â òî æå âðåìÿ â ïðîöåññå áèåíèé ýíåðãèÿ ïåðâîãî
îñöèëëÿòîðà çà âðåìÿ, ðàâíîå ïîëîâèíå ïåðèîäà áèåíèé, «ïåðåòåêàåò» êî âòîðîìó îñ-
öèëëÿòîðó è çàòåì çà òàêîå æå âðåìÿ âîçâðàùàåòñÿ îáðàòíî. Ïîëíûé ýíåðãîîáìåí ìåæ-
äó îñöèëëÿòîðàìè âîçìîæåí ëèøü òîãäà, êîãäà îáå ìàññû îäèíàêîâû è îòíîøåíèå
(ω I + ω II ) /(ω II − ω I ) ðàâíî öåëîìó ÷èñëó n, ò.å.:
                                        ω I + ω II 2ω0
                                                   =     = n.                 (3.40)
                                        ω II − ω I   Ωá
          Ñëåäîâàòåëüíî, ÷àñòîòà ω0 äîëæíà áûòü êðàòíîé ÷àñòîòå áèåíèé.  ñàìîì äåëå,
ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (3.40) êàæäàÿ èç ìàññ áóäåò ïåðèîäè÷åñêè îñòàíàâëèâàòüñÿ â
ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ (êàê ñëåäóåò èç ôîðìóë (3.17)). Ñ òå÷åíèåì âðåìåíè êîëåáàíèÿ
áóäóò çàòóõàòü, è áóäåò ýêñïîíåíöèàëüíî óìåíüøàòüñÿ ýíåðãèÿ, çàïàñåííàÿ â ìîäàõ:
                               E I (t ) = ms 02 e −2δt ω 2I = E 0I e −2δt ,                          (3.41à)
                                II
                               E (t ) =    ms02 e −2δt ω 2II   =   E 0II e −2δt .                    (3.41á)
                                                   1
        Âàæíî ïîä÷åðêíóòü, ÷òî ÷åðåç âðåìÿ τ E =       ýíåðãèÿ êàæäîé èç ìîä óìåíü-
                                                   2δ
øèòñÿ â å ðàç, ïðè ýòîì ïðîòèâîôàçíàÿ ìîäà «ïîòåðÿåò» áîëüøå ýíåðãèè, ÷åì ñèíôàçíàÿ,
ïîñêîëüêó íà÷àëüíàÿ ýíåðãèÿ E 0II ó íåå áûëà áîëüøå, ÷åì E 0I (ñì. (3.39)).

        Âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ. Ðàññìîòðèì îñíîâíûå çàêîíîìåðíîñòè âûíóæäåí-
íûõ óñòàíîâèâøèõñÿ êîëåáàíèé â ñèñòåìå, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 3.11, åñëè íà ëåâóþ
ìàññó m1 äåéñòâóåò ñèëà F(t) = F0 sin ωt. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ â ýòîì ñëó÷àå áóäóò îòëè-
÷àòüñÿ îò (3.34) íàëè÷èåì ýòîé ñèëû â ïðàâîé ÷àñòè ïåðâîãî óðàâíåíèÿ:

Страницы