Колебания и волны. Алешкевич В.А - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

59
Ëåêöèÿ 3
âîçâðàùàþùåé ñèëû ê
âåëè÷èíå ìàññû m è åå
ñìåùåíèþ s ó âñåõ ãðó-
çîâ áóäóò îäèíàêîâûìè.
Òàêèå óñëîâèÿ ðåàëè-
çóþòñÿ ïðè ñìåùåíèè
ìàññ òðåìÿ ñïîñîáàìè
(á, â è ã íà ðèñ.3.13).
Ïðè îòïóñêàíèè ãðóçîâ
èç ïîëîæåíèÿ (á) â ñèñ-
òåìå áóäåò ïðîèñõîäèòü
ïåðâîå íîðìàëüíîå êî-
ëåáàíèå íà ÷àñòîòå
I
ω ;
èç ïîëîæåíèÿ (â) 
âòîðîå íà ÷àñòîòå
II
ω ;
èç ïîëîæåíèÿ (ã)  òðåòüå íà ÷àñòîòå
III
ω
. Î÷åâèäíî, ÷òî
IIIIII
ω>ω>ω
.
Êîíôèãóðàöèÿ êàæäîé èç ìîä ìîæåò áûòü îïèñàíà ñ ïîìîùüþ äâóõ êîýôôèöè-
åíòîâ ðàñïðåäåëåíèÿ àìïëèòóä. Çàáåãàÿ âïåðåä, îòìåòèì, ÷òî äëÿ ÷åòûðåõ ìàññ òàêèõ
êîýôôèöèåíòîâ äîëæíî áûòü òðè, è ò.ä.
Îäíàêî ñèòóàöèÿ ìîæåò áûòü óïðîùåíà, åñëè îáðàòèòü âíèìàíèå, ÷òî ðàñïîëîæå-
íèå ìàññ â ïîçèöèÿõ (á), (â) è (ã) íà ðèñ. 3.13 íàïîìèíàåò «ñèíóñîèäàëüíîå» (ïóíêòèðîì
èçîáðàæåí ôðàãìåíò ôóíêöèè
xksin
, ãäå
k
 íåêîòîðûé ïàðàìåòð, õàðàêòåðèçóþùèé ïå-
ðèîä ýòîé ôóíêöèè). Òîãäà êîíôèãóðàöèÿ ïåðâîé ìîäû áóäåò îïèñàíà ñëåäóþùèì îáðàçîì:
;sin)(
I0
I
0
xsxs
k=
.
4
I
a
π
=
k
(3.44à)
Äëÿ âòîðîé ìîäû:
;sin)(
II0
II
0
xsxs
k=
III
2
kk =
. (3.44á)
Äëÿ òðåòüåé ìîäû:
;sin)(
III0
III
0
xsxs
k=
.3
IIII
kk =
(3.44â)
Ðîëü áåçðàçìåðíûõ êîýôôèöèåíòîâ
ς
âûïîëíÿåò ôóíêöèÿ
III) II, I,( sin =px
p
k
, âû÷èñ-
ëåííàÿ â òî÷êàõ
axx ==
1
,
axx 2
2
== ,
axx 3
3
== .
Äðóãèìè ïðèìåðàìè ñâÿçàííûõ îñöèëëÿòîðîâ ÿâëÿþòñÿ àòîìû â ìîëåêóëàõ CO
2
,
H
2
O è ò. ä. Íà ðèñ. 3.14 èçîáðàæåíû êîíôèãóðàöèè ìîä è ïðèâåäåíû çíà÷åíèÿ ÷àñòîò
íîðìàëüíûõ êîëåáàíèé ìîëåêóë. Îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî ýòè ÷àñòîòû èìåþò ïîðÿäîê
âåëè÷èíû
)1010(
1413
÷
ñ
1
è çíà÷èòåëüíî ïðåâûøàþò (íà íåñêîëüêî ïîðÿäêîâ) ÷àñòîòû
ìåõàíè÷åñêèõ êîëåáàíèé ìàêðîñêîïè÷åñêèõ ñèñòåì. Ðåçîíàíñíûå êîëåáàíèÿ ýòèõ (è äðó-
ãèõ) ìîëåêóë ìîæíî âîçáóäèòü ïðè âçàèìîäåéñòâèè ðàçíîèìåííî çàðÿæåííûõ èîíîâ,
ñîñòàâëÿþùèõ ýòè ìîëåêóëû, ñ ýëåêòðè÷åñêèì ïîëåì ñâåòîâîé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû
èíôðàêðàñíîãî (ÈÊ) äèàïàçîíà, èìåþùåé áëèçêóþ ÷àñòîòó.
Ðèñ. 3.13.
a amm maa
0x
1
x
2
x
3
s
0
s
0
s
0
s
0
s
0
w
I
w
II
w
III
/
s
0
/
x
à)
á)
â)
ã)
Ö2
Ö2
Ëåêöèÿ 3                                                                                              59
âîçâðàùàþùåé ñèëû ê                   a        m           a        m          a     m       a
âåëè÷èíå ìàññû m è åå            à)
ñìåùåíèþ s ó âñåõ ãðó-
çîâ áóäóò îäèíàêîâûìè.                                                    s0                          wI
Òàêèå óñëîâèÿ ðåàëè-
                                 á)
çóþòñÿ ïðè ñìåùåíèè
ìàññ òðåìÿ ñïîñîáàìè                                                                 s0
                                                                                                      wII
                                                s0
(á, â è ã íà ðèñ. 3.13).         â)
Ïðè îòïóñêàíèè ãðóçîâ
èç ïîëîæåíèÿ (á) â ñèñ-                                              s0                               wIII
                                                   –
                                             s 0 /Ö2                                     –
                                                                                   s 0 /Ö2
òåìå áóäåò ïðîèñõîäèòü           ã)
ïåðâîå íîðìàëüíîå êî-
ëåáàíèå íà ÷àñòîòå ω I ;
                             0                  x1                 x2                x3           x
èç ïîëîæåíèÿ (â) —                                                Ðèñ. 3.13.
âòîðîå íà ÷àñòîòå ω II ;
èç ïîëîæåíèÿ (ã) — òðåòüå íà ÷àñòîòå ω III . Î÷åâèäíî, ÷òî ω III > ω II > ω I .
         Êîíôèãóðàöèÿ êàæäîé èç ìîä ìîæåò áûòü îïèñàíà ñ ïîìîùüþ äâóõ êîýôôèöè-
åíòîâ ðàñïðåäåëåíèÿ àìïëèòóä. Çàáåãàÿ âïåðåä, îòìåòèì, ÷òî äëÿ ÷åòûðåõ ìàññ òàêèõ
êîýôôèöèåíòîâ äîëæíî áûòü òðè, è ò.ä.
         Îäíàêî ñèòóàöèÿ ìîæåò áûòü óïðîùåíà, åñëè îáðàòèòü âíèìàíèå, ÷òî ðàñïîëîæå-
íèå ìàññ â ïîçèöèÿõ (á), (â) è (ã) íà ðèñ. 3.13 íàïîìèíàåò «ñèíóñîèäàëüíîå» (ïóíêòèðîì
èçîáðàæåí ôðàãìåíò ôóíêöèè sin kx , ãäå k — íåêîòîðûé ïàðàìåòð, õàðàêòåðèçóþùèé ïå-
ðèîä ýòîé ôóíêöèè). Òîãäà êîíôèãóðàöèÿ ïåðâîé ìîäû áóäåò îïèñàíà ñëåäóþùèì îáðàçîì:
                                                                     π
                                 s 0I ( x ) = s 0 sin k I x; k I =      .                        (3.44à)
                                                                     4a
         Äëÿ âòîðîé ìîäû:
                                 s 0II ( x ) = s 0 sin k II x; k II = 2k I .                     (3.44á)
         Äëÿ òðåòüåé ìîäû:
                         s 0III ( x ) = s 0 sin k III x; k III = 3k I .          (3.44â)
Ðîëü áåçðàçìåðíûõ êîýôôèöèåíòîâ ς âûïîëíÿåò ôóíêöèÿ sin k p x ( p = I, II, III) , âû÷èñ-
ëåííàÿ â òî÷êàõ x = x1 = a , x = x 2 = 2a , x = x3 = 3a .
         Äðóãèìè ïðèìåðàìè ñâÿçàííûõ îñöèëëÿòîðîâ ÿâëÿþòñÿ àòîìû â ìîëåêóëàõ CO2,
H2O è ò. ä. Íà ðèñ. 3.14 èçîáðàæåíû êîíôèãóðàöèè ìîä è ïðèâåäåíû çíà÷åíèÿ ÷àñòîò
íîðìàëüíûõ êîëåáàíèé ìîëåêóë. Îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî ýòè ÷àñòîòû èìåþò ïîðÿäîê
âåëè÷èíû (1013 ÷ 1014 ) ñ–1 è çíà÷èòåëüíî ïðåâûøàþò (íà íåñêîëüêî ïîðÿäêîâ) ÷àñòîòû
ìåõàíè÷åñêèõ êîëåáàíèé ìàêðîñêîïè÷åñêèõ ñèñòåì. Ðåçîíàíñíûå êîëåáàíèÿ ýòèõ (è äðó-
ãèõ) ìîëåêóë ìîæíî âîçáóäèòü ïðè âçàèìîäåéñòâèè ðàçíîèìåííî çàðÿæåííûõ èîíîâ,
ñîñòàâëÿþùèõ ýòè ìîëåêóëû, ñ ýëåêòðè÷åñêèì ïîëåì ñâåòîâîé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû
èíôðàêðàñíîãî (ÈÊ) äèàïàçîíà, èìåþùåé áëèçêóþ ÷àñòîòó.

Страницы