Колебания и волны. Алешкевич В.А - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Êîëåáàíèÿ è âîëíû
60
 êóðñå «Îïòèêà» ìû ïîçíàêîìèìñÿ ñ òàêèì âçàèìîäåéñòâèåì, ïðèâîäÿùèì, â
÷àñòíîñòè, ê îñëàáëåíèþ (ïîãëîùåíèþ) ýíåðãèè ñâåòîâîé âîëíû è åå ðàññåÿíèþ â ñðåäå
ñ êîëåáëþùèìèñÿ ìîëåêóëàìè (êîìáèíàöèîííîìó ðàññåÿíèþ).
Áóäåì óâåëè÷èâàòü ÷èñëî ìàññ, çàêðåïëåííûõ íà øíóðå ÷åðåç ðàâíûå ïðîìåæóòêè à.
Åñëè N ÷èñëî ýòèõ ìàññ, òî ïîëíàÿ äëèíà øíóðà ðàâíà
)1( += Nal
(ðèñ. 3.15). Ðàññ÷èòàåì
íîðìàëüíûå ÷àñòîòû âñåõ ìîä è èõ êîíôèãóðàöèè. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íåâåñîìûé øíóð íàòÿ-
íóò ñ ñèëîé F, è ïðè ìàëûõ îòêëîíåíèÿõ ìàññ îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ
l<<s
ýòà ñèëà íå
ìåíÿåòñÿ. Êàæäàÿ ìàññà èñïûòûâàåò äåéñòâèå ñèë íàòÿæåíèÿ øíóðà ïî îáå ñòîðîíû îò íåå.
Íà ðèñ. 3.16 ïîêàçàíî ìãíîâåííîå ïîëîæåíèå ôðàãìåíòà øíóðà è òðåõ ìàññ. Åñëè
óãëû
1
θ è
2
θ ìàëû, òî âîçâðàùàþùàÿ ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà ñðåäíþþ ìàññó, ðàâíà:
)()sin(sin
2121
θ+θ−≈θ+θ⋅−= FFf . (3.45)
Âåëè÷èíû óãëîâ
1
θ è
2
θ îïðåäåëÿþòñÿ âçàèìíûì ðàñïîëîæåíèåì ìàññ:
;
1
1
a
ss
nn
−
−
≈θ
.
1
2
a
ss
nn
+
−
≈θ
(3.46)
Ñ ó÷åòîì (3.45) è (3.46) óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ñðåäíåé ìàññû ïðèìåò âèä:
.
11
−
+
−
−=
+−
a
ss
a
ss
Fsm
nnnn
n
&&
(3.47)
Åñëè êîëåáàíèÿ ÿâëÿþòñÿ íîðìàëüíûìè, òî
()
()
()
,sin
,sin
,sin
1,01
,0
1,01
tsts
tsts
tsts
nn
nn
nn
ω=
ω=
ω=
++
−−
(3.48)
ãäå ÷àñòîòó
ω
è ðàñïðåäåëåíèå àìïëèòóä ïðåäñòîèò îïðåäåëèòü.
a
a
m
m
m
a
a
0 x
1
x
2
x
3
a
a
m
mm
a
aa
mm
x
x
N
x
N
1
Ðèñ. 3.15.
w
I
w
II
w
III
O C O
O C O
H
C O
= 4,16 · 10 c
13 1
= 7,05 · 10 c
13 1
= 2,00 · 10 c
13 1
O
H
105°
H
O
O
H H
O
H
w
I
= 11 · 10 c
13 1
w
II
= 11,27 · 10 c
13 1
w
III
= 4,78 · 10 c
13 1
Ðèñ. 3.14.
60                                                                                  Êîëåáàíèÿ è âîëíû
                                                                                                 13       –1
                     O                    C                    O             wI = 4,16 · 10           c


                     O                    C                    O             wII = 7,05 · 1013 c –1



                     O                    C                    O             wIII = 2,00 · 10 13 c –1




                      O                                    O                                O

             H                   H               H                  H             H                        H
                     105°
                                                                                                      13       –1
           wI = 11 · 10 13 c –1               wII = 11,27 · 10 13 c –1         wIII = 4,78 · 10            c
                                                      Ðèñ. 3.14.
         Â êóðñå «Îïòèêà» ìû ïîçíàêîìèìñÿ ñ òàêèì âçàèìîäåéñòâèåì, ïðèâîäÿùèì, â
÷àñòíîñòè, ê îñëàáëåíèþ (ïîãëîùåíèþ) ýíåðãèè ñâåòîâîé âîëíû è åå ðàññåÿíèþ â ñðåäå
ñ êîëåáëþùèìèñÿ ìîëåêóëàìè (êîìáèíàöèîííîìó ðàññåÿíèþ).
         Áóäåì óâåëè÷èâàòü ÷èñëî ìàññ, çàêðåïëåííûõ íà øíóðå ÷åðåç ðàâíûå ïðîìåæóòêè à.
Åñëè N — ÷èñëî ýòèõ ìàññ, òî ïîëíàÿ äëèíà øíóðà ðàâíà l = a ( N + 1) (ðèñ. 3.15). Ðàññ÷èòàåì
íîðìàëüíûå ÷àñòîòû âñåõ ìîä è èõ êîíôèãóðàöèè. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íåâåñîìûé øíóð íàòÿ-
íóò ñ ñèëîé F, è ïðè ìàëûõ îòêëîíåíèÿõ ìàññ îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ s << l ýòà ñèëà íå
ìåíÿåòñÿ. Êàæäàÿ ìàññà èñïûòûâàåò äåéñòâèå ñèë íàòÿæåíèÿ øíóðà ïî îáå ñòîðîíû îò íåå.
         Íà ðèñ. 3.16 ïîêàçàíî ìãíîâåííîå ïîëîæåíèå ôðàãìåíòà øíóðà è òðåõ ìàññ. Åñëè
óãëû θ1 è θ 2 ìàëû, òî âîçâðàùàþùàÿ ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà ñðåäíþþ ìàññó, ðàâíà:
                          f = − F ⋅ (sin θ1 + sin θ 2 ) ≈ − F (θ1 + θ 2 ) .           (3.45)
         Âåëè÷èíû óãëîâ θ1 è θ 2 îïðåäåëÿþòñÿ âçàèìíûì ðàñïîëîæåíèåì ìàññ:
                                     s −s                s −s
                              θ1 ≈ n n −1 ; θ 2 ≈ n n+1 .                             (3.46)
                                         a                   a
         Ñ ó÷åòîì (3.45) è (3.46) óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ñðåäíåé ìàññû ïðèìåò âèä:
                                          s − sn−1 s n − s n+1 
                             m&s&n = − F  n           +           .                 (3.47)
                                              a             a     
         Åñëè êîëåáàíèÿ ÿâëÿþòñÿ íîðìàëüíûìè, òî
                                              s n−1 (t ) = s0,n−1 sin ωt ,
                                              s n (t ) = s0,n sin ωt ,                                                  (3.48)
                                              s n+1 (t ) = s0,n+1 sin ωt ,
ãäå ÷àñòîòó ω è ðàñïðåäåëåíèå àìïëèòóä ïðåäñòîèò îïðåäåëèòü.
                  a m a m a m a m a m a m a m a m a



                 0          x1       x2          x3                                     xN – 1        xN            x
                                                          Ðèñ. 3.15.

Страницы